1.2.1 波动方程的平面波解_物理光学-QQ阅读女频幻言网

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1.2 平面电磁波

已经指出，式（1.8）和式（1.9）是两个偏微分方程，它们的解可以有多种形式，如平面波、球面波和柱面波解。方程的解还可以写成各种频率的简谐波及其叠加。所以，要决定解的具体形式，必须根据E和B满足的边界条件和初始条件求解方程。这里，以平面波为例，求解波动方程，并讨论在光学中有重要意义的平面简谐波解。

1.2.1 波动方程的平面波解

图1.2 沿z方向传播的平面电磁波

现在讨论波动方程的一种最基本的解——平面波解。平面电磁波是指电场或磁场在与传播方向正交的平面上各点具有相同值的波。假设平面波沿直角坐标系xyz的z方向传播（图1.2），那么平面波的E和B仅与z、t有关，而与x、y无关。这样，电磁场的波动方程，即式（1.8）和式（1.9）化为

令

因而

类似地，可以得到

因此

或者

对η积分得到

式中，g（ξ）是ξ的任意矢量函数。再对ξ积分得到

式中，f1和f2是z和t的两个任意矢量函数，它们分别代表以速度v沿z正方向和z负方向传播的平面波。如果我们以v＞0代表沿z正方向传播的平面波，以v＜0代表沿z负方向传播的平面波，上式也可以只取一种形式：

显然，按同样的方法求解式（1.14），也会得到磁波的波函数

若取一余弦函数（周期为2π）作为波动方程的特解，则有

式中，λ是一个常量，A和A＇是常矢量。

1.2.2 平面简谐波

式（1.18）和式（1.19）是我们熟悉的平面简谐波的波函数，对于光波来说，它们就是平面单色光波的波函数。式中A和A＇分别是电场和磁场的振幅，λ是简谐波的波长，它对应于任一时刻在波传播方向上余弦函数的整个自变量变化2π的两点间的距离。余弦函数的整个自变量称为波的位相，所以波长λ就是任一时刻位相相差2π的两点间的距离。我们把某一时刻位相相同的点的空间位置叫做等相面或波面，其中最前面的波面称为波前。不难看出，式（1.18）和式（1.19）代表的波的等相面是平面（故称平面波）。再看余弦位相函数，它有十分重要的意义，因为它决定场随空间和时间的变化关系。例如，在时刻t=0，位相函数是z，在z=0的平面上场有最大值，即平面波处于波峰位置。在另一时刻，位相函数变为，波峰移到处，即移到 z=vt的平面上。由此也可以看出，式（1.18）和式（1.19）表示沿z轴方向位相传播速度为v的平面电磁波。

引入沿等相面法线方向的波矢量k（在各向同性介质中，k的方向也是波能量的传播方向），其大小（通常称波数）为

因为波的频率（单位时间内场周期变化的次数）

T为周期（场一次周期变化所需的时间），并把2πν称为角频率ω，即

这样，式（1.18）又可以写成下面两种形式：

和

单色平面波波函数的最显著的特点是它的时间周期性和空间周期性，这表示单色光波是一种时间无限延续、空间无限延伸的波动；任何时间周期性和空间周期性的破坏，都意味着单色光波单色性的破坏。如图1.3所示的“单色波的一段”，即有限长波列这种波，不是严格意义上的单色波（参见2.5节）。

图1.3 有限长波列——一种非单色波

前面已经用T，ν，ω这些量来表示单色光波的时间周期性，显然为了表示单色光波的空间周期性，也可以利用λ，这些量，并分别把它们称为空间周期、空间频率（单位长度上的空间周期数）和空间角频率。单色光波的时间周期性和空间周期性紧密相关，彼此通过传播速度 v由式（1.21）联系。

由式（1.21）可以看出，单色光波的时间周期性和空间周期性的一个有意义的关系：对于在不同介质中的具有相同（时间）频率的单色光波，其空间频率并不相同。事实上，由式（1.21），空间周期（即波长）

由于在不同介质中，单色光波有不同的传播速度，所以它的空间周期和空间频率将不相同。设单色光波在真空中的空间周期（波长）为λ0，则有λ0 =c/ν，因此λ和λ0的关系为

式中，n是介质的折射率。

1.2.3 一般坐标系下的波函数

在上面的讨论中，我们假设平面波沿xyz坐标系的z轴方向传播，或者说，我们选取了一个特殊坐标系，使其z轴沿平面波的传播方向，由此得出平面波的波函数如式（1.23）等。现在，我们来写出在一般坐标系下的波函数。假设平面波沿空间某一方向传播（图1.4），这一方向并不沿xyz坐标系的任一坐标轴，这时可设想将新坐标轴z′取在平面波波矢量k的方向，并且在新坐标系下平面波的波函数可以写为

为了在xyz坐标系中表示出平面波，应注意到

式中，k0是k的单位矢量，r是平面波波面Σ上任一点P（坐标为x、y、z）的位置矢量，于是

上式即为一般坐标系下平面波的表达式。容易看出，平面波的波面是k·r为常数的平面。

若设k的方向余弦（即k0在x、y、z坐标轴上的投影）为cosα、cosβ、cosγ，任意点P的坐标为x、y、z，那么式（1.26）也可以写成如下形式：

显然，在特殊坐标系下，即当k的方向取为z轴时，有

因而式（1.26）化为式（1.23）。

图1.4 一般坐标系下的平面波

k·r=kz

1.2.4 复数形式的波函数

为运算方便起见，常把平面简谐波的波函数写成复数形式。例如波函数，即式（1.26）可写成

这是由于，一方面式（1.26）实际上是式（1.28）的实数部分，另一方面可以证明，对复数表达式进行线性运算（加、减、微分、积分）之后再取实数部分，与对余弦函数式进行同样运算所得的结果相同。所以，我们可以用式（1.28）来表示平面简谐波，只是对于实际存在的场应理解为式（1.28）的实数部分。

用式（1.28）代替式（1.26）来表示平面简谐波，这种代替完全是形式上的，目的是用比较简单的复指数函数运算来代替比较烦琐的三角函数运算，使计算简化。例如，在光学的许多问题中，求振幅的平方A2很重要，因为光强度（I）正比于A2（参阅1.4节），而要求得A2，只需将复数形式的波函数乘以其共轭复数一般情况下，不能对复数形式波函数进行相乘、相除运算。对于求A2的运算是一个例外，因为这时位相因子消失，复数波函数的实部和虚部不会互相干扰。，即

1.2.5 平面简谐波的复振幅

由复数形式的波函数，即式（1.28）可见，其位相因子包括空间位相因子exp（ik·r）和时间位相因子exp（-iωt）两部分，可以把它们分开写为

并把振幅和空间位相因子部分

称为复振幅。这样，波函数就等于复振幅和时间位相因子exp（-iωt）的乘积。复振幅表示场振动的振幅和位相随空间的变化（对于平面波，空间各点的振幅相同），时间位相因子表示场振动随时间的变化。显然，对于简谐波传播到的空间各点，场振动的时间位相因子exp（-iωt）都相同，因此当我们只关心场振动的空间分布时（如在光的干涉和衍射等问题中），时间位相因子就无关紧要，通常可以略去不写，而只用复振幅来表示一个简谐波。

为了进一步了解复振幅的空间变化，我们来讨论平面简谐波在一个平面上的复振幅分布。为讨论方便起见，假设平面简谐波的波矢量k平行于xz平面（图1.5（a）），其方向余弦为cosα，0，cosγ，而考察平面取为z=0平面（即xOy平面）。在这种情况下，由式（1.30），在z=0平面上的复振幅分布为

或者写为

式中，γ是波矢量k与z轴的夹角。以上两式表明，复振幅的变化只依赖于位相因子，等位相点的轨迹是x为常量的直线，也是垂直于x轴的直线，如图1.5（b）所示。容易看出，等相线实际上是平面波的等相面与z=0平面的交线。图1.5（a）和（b）分别画出了位相依次相差2π的一些等相面和z=0平面上相应的等相线。

前面已经提到，光强度正比于场振幅的平方，并有式（1.29）。显然，该式也可用复振幅表示为

上式是一个由复振幅分布求光强度分布的常用公式。它适用于单色平面波，也适用于其他形式的单色波。

式（1.33）涉及复振幅的复数共轭，下面我们来看它代表的波（称共轭波）的意义。还是以如图1.5所示的平面波为例，该平面波在z=0平面上的复振幅分布为

而与该平面波共轭的波在z=0平面上的复振幅分布为

上式表明共轭波是一个与z轴夹角为-γ，波矢量k平行于xz平面的平面波（图1.6）①。

①这是与代表的波都来自z=0平面左侧的共轭波。另外，由于所以，沿-k方向即与波反方向传播的平面波也是共轭波。

图1.5 平面波在z=0平面上的位相分布

图1.6 平面波及其共轭波

以上几点讨论，只考虑了电波，没有考虑磁波，这是因为今后我们注意的是光学问题。从光与物质的作用来看，光波中的电场和磁场的重要性并不相同。例如，光波对物质中带电粒子的作用，光波磁场的作用远比光波电场的作用弱。另外，实验证明使照相底版感光的是电场而不是磁场（见2.2节），对视网膜起作用的也是电场而不是磁场。所以，在光学中通常把电矢量E称为光矢量，把E的振动称为光振动。在讨论光的场振动性质时，可以只考虑电矢量E。但是，必须记住，从波的传播来看，光波和其他电磁波一样，电场和磁场矢量处于同等的地位，它们紧密联系，不可分离。下面我们来看看它们在这方面的性质。