2.4 点的加速度合成定理——三种运动加速度间的关系

本节分析三种运动加速度——绝对加速度、相对加速度和牵连加速度之间的关系。

2.3节的分析表明，速度合成定理对于任何形式的牵连运动都是适用的。但是下面的分析则表明，加速度问题比较复杂，对于不同形式的牵连运动，会得到不同的结论。

如图2-5所示，点M为动点，动系为O＇x＇y＇z＇，定系为Oxyz。rM为绝对运动矢径，r＇为相对运动矢径，rO＇为动系坐标原点的矢径。根据速度合成定理，有

va=vr+ve

对时间求导，得

因为

所以

式中，为相对加速度，相对于动系i＇, ＇j, k＇的方向保持不变，只有变化，因此也可写成

ωe × vr则反映由于牵连运动（转动）引起vr方向的变化。

又因为

v e=ωe × rM

所以

式中，αe × rM +ωe × ve=ae为牵连加速度。上式中的ωe × vr反映相对运动引起的ve大小的改变。

由上述结果，可得

记

称为科氏加速度（Coriolis acceleration），从而得

式(2-7)即为点的加速度合成定理（theorem for composition of acceleration），动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。

可以证明，无论牵连运动为何种运动形式，式(2-7)都成立，因此它是点的加速度合成定理的普遍形式。

特殊地，当动系做平动时，ωe=0，相应地，a C=2ωe × v r=0。此时，加速度合成定理的形式为

即当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。

例题2-7

凸轮在水平面上向右做减速运动，如例题图2-7(a)所示。设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a。求杆AB在图示位置时的加速度。

分析：杆AB做平动，只要求出图示位置时杆AB上任意一点的加速度即可。

解：

以杆AB上的点A为动点，凸轮为动系，则点A的绝对轨迹为直线，相对轨迹为凸轮轮廓曲线。由于牵连运动为平动，点的加速度合成定理为

aa=ae+ar

式中，aa为所求的加速度，已知它的方向沿直线AB，但指向和大小尚待确定；点A的牵连加速度为凸轮上与动点重合的点的加速度，即有ae=a；点A的相对轨迹为曲线，于是相对加速度分为两个分量：切向分量的大小是未知的，法向分量的方向如例题图2-7(a)所示，大小为

相对速度vr可根据速度合成定理求出，其方向如例题图2-7(b)所示，大小为

于是

加速度合成定理可写成如下形式：

假设aa和arτ的指向如例题图2-7(a)所示。为了计算aa的大小，将上式投影到法线上，得

解得

当φ＜90°时，aa＞0，说明假设的aa指向恰是其真实指向。

例题2-8

在凸轮顶杆机构中，凸轮半径为r，偏心距为OC=e，以等角速度ω绕轴O转动，如例题图2-8(a)所示。求当OC⊥OA瞬时顶杆的加速度。

分析：顶杆做平动，因此杆上点A的运动即可代表顶杆的运动。偏心凸轮绕轴O转动时，顶杆上的点A与凸轮恒接触，相对于凸轮沿其轮廓线运动，由于点A的相对轨迹可知，故选点A为动点。相应地，动系固连于凸轮上。绝对运动为沿铅垂轴的直线运动（规律未知）；相对运动为沿凸轮轮廓的圆周运动（规律未知）；牵连运动为绕轴O的匀角速度转动（规律已知）。

解：

根据上述分析，此时牵连运动为等角速度转动，相对轨迹是曲线，所以加速度合成定理可表示为

式中，aa大小未知，方向可假设向上；，方向沿y1轴指向点O;，方向沿相对轨迹的法线指向圆心C;aC=2 ω× vr, a C=2 ωv r=2 r ω2，方向如例题图2-8(b)所示；大小未知，沿相对轨迹切线方向，假设指向如例题图2-8(b)所示。

所以，加速度合成式中只有两个未知量，全部可求解。为了方便求解，可选择恰当的投影轴，如将式(a)投影至轴n，可得

各个已知量代入式(b)，又有，经运算后得

结果aa＞0，表明假设方向正确。至于，请读者另选恰当的投影轴自行计算。

例题2-9

刨床的急回机构如例题图2-9所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA=r，两轴间的距离OO1=l。求当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度。

分析：为了求当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度，需要首先求得曲柄上任意一点的切向加速度。可以用动系做转动的加速度合成定理求解。

解：

选取曲柄端点A作为研究的动点，把动系O1x＇y＇固定在摇杆O1B上，并与O1B一起绕轴O1摆动。由于动系做转动，因此加速度合成定理为

由于，欲求摇杆O1B的角加速度α，只需求出即可。下面分别分析上式中的各项。

aa：因为动点的绝对运动是以O为圆心的匀速圆周运动，故只有法向加速度，方向如例题图2-9所示，大小为aa=ω2r。

a e：摇杆上与动点相重合的点的加速度。摇杆摆动，其上点A的切向加速度为，垂直于O1A，假设指向如例题图2-9所示；法向加速度为，其大小为方向如例题图2-9所示。由于在例题2-4中已求得ω1为

所以

ar：因为相对轨迹为直线，故ar沿O1A方向，大小未知。

aC：由aC=2ωe × vr知aC=2ω1vrsin90°，由例题2-4可知

于是，有

方向如例题图2-9所示。

为了求得，应将加速度合成定理式(a)向O1x＇轴投影，即

aax＇=aex＇+arx＇+aCx＇

或

解得

式中，l2-r2＞0，故为负值，表示真实方向与图中假设的指向相反。

摇杆O1A的角加速度为

方向如例题图2-9所示。

例题2-10

如图2-10(a)所示，已知半圆形凸轮半径为r，图示瞬时θ=30°，凸轮以速度vB和加速度aB平动。杆OA靠在凸轮上。试求此瞬时杆的角速度ω和角加速度α。

分析：本题的关键是求得此瞬时杆上任意一点的速度和切向加速度。下面分别利用速度合成定理和加速度合成定理进行分析，并用两种方法进行速度求解。

解：

(1) 速度分析。

解法1：

取凸轮圆心B为动点，动系固定在杆OA上。此时，绝对运动为直线运动，va=vB, aa=aB；牵连运动为定轴转动，ω和α未知；相对运动为直线运动，轨迹与OA平行。根据速度合成定理，有

各速度的方向如例题图2-10(b)所示。于是，有

解法2：

假想用小环M套住杆OA和凸轮轮缘，如例题图2-10(c)所示。取M为动点，第一动系Ox1y1固连于杆OA。相对运动沿直线OA方向，相对速度为vr1；牵连运动为定轴转动，牵连速度ve1=OM.ω。由速度合成定理，可得

va=ve1+vr1

取第二动系为O2x2y2。相对运动为沿凸轮轮缘的圆弧运动，相对速度vr2与轮缘相切（沿OA）；牵连运动为平动，牵连速度ve2=vB。由速度合成定理，可得

va=ve2+vr2 ve1+vr1=ve2+vr2

因此，有

向轴ξ投影（如例题图2-10(d)所示），得

(2) 加速度分析。

根据加速度合成定理，有

aa=ae+ar+aC

因为动系做转动，所以

式中，aa=aB, aC=2ω× vr。

将上式向轴ξ投影（如例题图2-10(e)所示），可得

因为

所以

例题2-11

半径为r的圆轮以等角速度ω绕轴O转动，从而带动靠在轮上的杆O1A绕轴O1摆动，如例题图2-11(a)所示。已知OO1=3r，试求图示位置杆O1A的角速度与角加速度。

分析：本题的解题思路和上题类似，即利用速度合成定理和加速度合成定理求得图示位置杆O1A上任意一点的速度和切向加速度。

解：

在机构运动过程中，圆轮与摆杆始终保持接触，但没有一个持续的接触点。注意，轮心C至杆O1A的距离始终为半径r，因此点C相对于杆O1A的轨迹是与杆O1A相平行的一条直线段，于是可选点C为动点，杆O1A上固连动系O1x1y1，则绝对运动为以O为圆心、r为半径的圆周运动（规律已知）；相对运动为与杆O1A平行的直线运动（规律未知）。牵连运动为绕轴O1的定轴转动（待求）。速度合成定理为

式中，va⊥OC, v=rω；且，即ve⊥O1C，大小未知；vr沿相对轨迹切向。作速度合成的平行四边形，如例题图2-11(a)所示。

若令∠CO1O=θ，则

故

vr=va=rω

于是

牵连运动为定轴转动，加速度合成定理可表示为

经分析可知，各加速度分量中，只有牵连切向加速度及相对加速度的大小为未知，其他均为已知，画出各个分量，如例题图2-11(b)所示。其中

a r的指向及a eτ的指向均为假设。将式(a)投影于轴O1y1，得

所以

其中负号表明的实际指向与假设的相反。杆O1A的角加速度为

讨论：

本题为选择动点和动坐标系的方式提供了一种新的思路：以传动机构中某刚体上一个非接触点为动点，相应地，动坐标系固连于传动件中另一个刚体上。这种选择方法，与前面讨论过的两种机构（例题2-8和例题2-9）的选择是一致的，均易于根据约束条件确定动点的相对轨迹，从而易于分析vr和ar，也就便于解题。由此可见，选择动点和动系时，不但有原则上的一致性，而且在针对具体问题时还有一定的灵活性。因而，读者要重视对具体问题进行具体分析。