2.1 数学的早期发展

2.1.1 古埃及数学

埃及文明可上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右出现初步统一的国家。

古代埃及文明可分为5个历史时期：早期王国时期（公元前3100—前2688年）、古王国时期（公元前2686—前2181年）、中王国时期（公元前2040—前1768年）、新王国时期（公元前1567—前1086年）、后王国时期（公元前1085—前332年）。其中在古王国时期，埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代；在新王国时期，埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非的大帝国。

埃及人创造了连续3000余年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。吉萨金字塔（公元前2600年）显示了埃及人极其精确的测量能力，其边长和高度的比例约为圆周率的一半。

古埃及最重要的传世数学文献主要有：

莱茵德纸草书：1858年为苏格兰收藏家莱茵德（H.Rhind）购得，现藏伦敦大英博物馆，主体部分由84个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试“化圆为方”的公式。

莫斯科纸草书：1893年由俄国贵族戈列尼雪夫（B.C.Роленнщев）购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆，该书包含了25个数学问题。

纸草书中有些问题可归为今天代数学范畴，相当于求解形如一次方程。埃及人称未知数为“堆”（aha，读做“何”）。

埃及几何学是尼罗河的赠礼。古希腊历史学家希罗多德（Herodotus，约公元前484—前425年）在公元5世纪曾访问考察过埃及，并在其著作《历史》中写道：

西索斯特里斯在埃及居民中进行了一次土地划分。假如河水冲毁了一个人所得的任何一部分土地，国王就会派人去调查，并通过测量来确定损失地段的确切面积。我认为，正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，后又把它传给了希腊人。

莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。从中可找到正方形、矩形、等腰梯形等面积的计算公式，如莱茵德纸草书中的第52题，通过将等腰梯形转化为矩形，得出等腰梯形面积的正确公式。

埃及人对圆面积给出极高的近似。莱茵德纸草书第50题假设一直径为9的圆形土地，其面积等于边长为8的正方形面积。埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯科纸草书中的第14题。该题给出计算平截头方锥体积的公式。

虽埃及数学是实用数学，但也有例外。如莱茵德纸草书第79题：7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。曾有人认为这是一个数谜：7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。也有将房子、猫等解释为不同幂次的名称，即房子表示一次幂，猫表示二次幂等。这是一个没有任何实际意义的几何级数求和问题。

古埃及计数制以不同的特殊记号分别表示10的前六次幂：简单的一道竖线表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵莲花表示1000，弯曲的手指表示10000，一条江鳕鱼表示100000，而跪着的人像（可能指永恒之神）则表示1000000。其他数目通过这些数目的简单累积来表示。

随着青铜文化的崛起，分数概念与分数记号应运而生。埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数（即分子为一的分数）：在整数上方画一个长椭圆；纸草书中采用的僧侣文，则用一点来代替长椭圆号。在多位数的情形，则点号置于最右边的数码之上。

单位分数的广泛使用是埃及数学的重要特色之一。埃及人将所有的真分数都表示成一些单位分数的和。为使这种分解过程变得容易，莱茵德纸草书中给出了一张形如2/k（k为从5～101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。

埃及人最基本的算术运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现的。如69×19如下进行：将69加倍到138，将结果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104（此即69的16倍）。因19=16+2+1，得69×19为1104+138+69=1311。在除法运算中，加倍程序倒过来执行，除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍。

莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积，体积算法对精确公式与近似公式不做明确区分，这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及后，这一古老的数学文化完全被希腊数学所取代。

简言之，埃及数学没有把零散的数学知识系统化，仅仅是作为一种工具用于解决日常生活中的实际问题。其主要特点为：

（1）最基本的算术是加法，乘法运算通过逐次加倍的程序来实现。

（2）所有的真分数都表示为一些单位分数的和（2/3除外）。利用单位分数，分数的四则运算就可以进行，但做起来较为麻烦。

（3）能正确计算正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积，其中最惊人的是能够计算方棱锥平头截体体积。

（4）虽没有命题证明的思想，但可对问题的数值结果加以验证。

（5）没有明确区分面积、体积算法的精确公式与近似计算。

关于埃及分数引出不少问题，其中有许多尚未解决，同时还不断产生新问题。如有数学家猜测

当n＞1时总有解。

2.1.2 古巴比伦数学

人类最早的奴隶制国家大约于公元前4000—前3000年产生于古代东方国家——巴比伦，这块地域古称为美索不达米亚。美索不达米亚文明可分为3个发展时期：

（1）古巴比伦王国：公元前1894—前729年。汉穆拉比（公元前1792—前1750年）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。

（2）亚述帝国：公元前8世纪—前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。

（3）新巴比伦王国：公元前612—前538年。尼布甲尼撒二世（公元前604—前562年）统治时期先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之一的巴比伦“空中花园”。

美索不达米亚文字的书写是一项非常艰巨的工作。书写时先把黏土做成方形的板砖，再用尖木棍在上面刻字，最后把泥板放在太阳下晒干或在火上烤干。虽写起来很慢，改写、保管和查看也很不方便，但这样制作的泥版文书比纸草书更易于保存，迄今已出土50万块（300多块是数学文献），虽经历了几千年沧桑，上面所刻写图文依然清晰可见。这是我们了解美索不达米亚文化的重要依据。

美索不达米亚人采用的是六十进制。只用两个记号，即垂直向下的楔子和横卧向左的楔子，通过排列组合便可表示所有自然数。位置原理是美索不达米亚人的一项突出成就。一个数处于不同位置可表示不同的值，后来他们把这个原理应用到分数。六十进位制的产生，可能是和天文学的发展有关系。苏马连人和美索不达米亚人在天文学上曾取得了很高成就。美索不达米亚人发明了太阳历，把一年划分为12个月，共354天。一天分成24小时，每小时60分钟，每分钟60秒。并发明了闰月，设置与太阳历相差11天，以7天为一星期。

美索不达米亚人更擅长算术。他们创造了分数及其加减乘除四则运算，发明了十进位法和十六进位法。他们把圆分为360 °，并知道π近似于3，甚至能计算不规则多边形的面积及一些锥体的体积。

美索不达米亚人还创造了许多成熟算法，如开方根等。他们会解一元二次方程，泥版书里给出了正确求解程序。对于特殊三次方程，他们虽无法求得一般解法，但却制定出相应表格。利用简单平方表，美索不达米亚人还掌握了一些简便数字的计算方法。如他们能很快算出任意两数的乘积。

美索不达米亚泥版书上有个问题：兄弟10人分5/3米那的银子（1米那=60赛克尔），相邻的兄弟俩所分银子的差相等，而且老八分的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量。可见美索不达米亚人已经知道“等差数列”的概念。

有一些泥版文书上的问题说明美索不达米亚人对数学除了实用目的以外，还有理论上的兴趣，“普林顿322”就是很好的佐证。现存的这块泥版长度和宽度分别只有12.7厘米和8.8厘米。书写在上面的文字是古巴比伦语，因此年代最晚在公元前1600年。这块泥版只刻着一张表格，由4列15行六十进制数字组成。第1、5和11行第Ⅲ，Ⅱ列分别是数组（1，59；2，49），（1，5；1，37），（45；1，15），转化成十进制就是（119，169），（65， 97），（45，75），注意到（120，119，169），（72，65，97），（65，45，75）恰好是直角三角形的三条边，故一般认为表中数字与勾股数有关。这张表上最大的一组斜边是18541，一直角边为12709！美索不达米亚人如何计算出这些数字，至今仍是个谜。

收藏于耶鲁大学的YBC7289号泥板再次印证美索不达米亚人掌握了勾股定理。该泥板上面刻有一正方形，在对角线上方有一行数字（1，24，51，10），将其化为十进制小数则为单位正方形对角线的之近似值，与真值仅相差6×10 -7。

大约在6000年前，美索不达米亚人造出世上第一个轮子。最初的轮子是用木头做成一个圆盘，中间挖一个洞，穿过一根木头做轴，使圆盘能绕着轴转动。至巴比伦和亚述时，出现了战车和进行贸易的车辆，车上的轮子已经有了辐和毂等。美索不达米亚人还发现圆木轮的其他用途。如陶工利用旋轮制作精细的器皿，建筑工人利用滑轮吊起重物等。

美索不达米亚人对圆的认识虽比埃及人差，可他们实际运用几何能力，特别是在天文方面却比埃及人先进。他们把太阳在天上一昼夜经过的轨道分成360 °。后来又把这种分法应用于一切圆形物体。他们已区分恒星和行星，给五个行星起了专门名称，即金星、火星、木星、水星、土星。在一部5000年前献给巴比伦国王的占星学著作里，列出了很长的蚀亏表，表中关于日食和月食的日期相当准确。

美索不达米亚数学的特点：

（1）创造了以六十进制为主的楔形文计数系统，并把位值原理推广到分数，但从未实施绝对的位值制。

（2）发展了程序化算法。

（3）编制了许多数学用表，做除法不是用埃及人的倒加倍方法，而是采用被除数乘以除数的倒数，倒数通过查表而得。

（4）能解一般的三项二次方程，并通过查表解形如x3 =a，x3 +x2 =a的三次方程。

（5）能够认识到方程（ax）3 +（ax）2 =b与方程y2 +y2 =a本质上属于同一类型，具有初等代数变换思想。

（6）已经掌握了三角形、梯形等平面图形体积公式，并知道利用图形的相似性概念。

（7）已广泛使用勾股定理，还表现出相关理论兴趣。

2.1.3 西汉前的中国数学

中国数学的发展史至少有4000年，其他任何国家都难以比拟。印度数学发展达3500～4000年；希腊的数学发展史从公元前6～4世纪有1000余年；阿拉伯的数学发展史仅限于8～13世纪有500多年；欧洲数学不过10世纪后才开始；日本的数学发展史则迟至17世纪后。在世界古老文化中，古代埃及、巴比伦文化早已绝灭。古希腊、罗马文化也失去了光辉，古印度文化屡遭破坏。唯中华文化虽几经跌宕，却始终相继不断，并代有高峰。

《易经·系辞传》云：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。结绳和书契（刻木或刻竹）是非文字记载的两种主要计数（或记事）方法。三国时吴人虞翮在《易九家义》中也说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡。”这些记载表明，结绳计数是原始社会普遍使用的一种计数方法。刻画计数也产生于原始社会。人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示一定的数目，这大概就是《易经》所说的契。

在新石器时代早期已普遍结绳计数，稍后便出现了书契。研究表明，约6000年前的半坡人已具有了圆、球、圆柱、圆台、同心圆等几何观念。大约在6000年前，原始社会的中国人至少已经掌握了30以内的自然数，而且是十进制系统。可见在我国数字的出现比甲骨文要早2600年，比“黄帝时代”也要早1300年左右。

伴随着原始公社的解体，产生了私有制和货物交换。《易经·系辞传》记载：“包牺氏没，神农氏作。……日中为市，致天下之民，聚天下之货，交易而退，各得其所。”为了货物交换的顺利进行，逐渐有了统一的计数方法和简单的计算技能。

为了使制成物品有规则形状，人们创造了规、矩、准、绳。《尸子》云“古者，倕为规、矩、准、绳，使天下访焉”（倕是约4500年前黄帝或唐尧时代的能工巧匠）。在汉武帝梁祠的浮雕像中，有伏羲手执矩，女娲手执规的造像。

夏代是私有制确立和巩固的时期，产生了农业和手工业的分工，出现了从事各种手工业（如陶器、青铜器、车辆等）生产的氏族。手工制造、农田水利、制定历法都需要数学知识和计算技能，人们关于几何形体和数量的认识必然有所提高。

至商代，奴隶制国家正式确立，开始了比较发达的殷商文化。出于货物交换的发达，殷代已有用贝壳来交换物品的习惯，这种贝壳带有一些货币味道。六十循环的“天干地支”计数法，是商代数学的一个成就，这种方法主要用于历法，可称干支纪年法。天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干与地支相配，共得60个不同单位——以甲子开始，以癸亥告终。中国农历至今还使用这种方法。

《史记·夏本纪》大禹治水中提到“左规矩，右准绳”，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，大禹以“勾三股四弦五”来治理天下，可推知我国对勾股定理的最初了解可上溯至公元前21世纪。

公元前11世纪末，周人灭殷后，在原有氏族制度的基础上建立周，奴隶制经济获得进一步的发展。在政治经济上有实力的氏族贵族组织成了强大的政治集团，其中有所谓“士”的阶层是受过礼、乐、射、御、书、数六艺训练的人。“数”作为六艺之一，开始形成一个学科。用算筹来计数和四则运算，很可能在西周时期已经开始了。

东周时期开始利用铁器，生产力逐渐提高，生产方式有所改变。从春秋以来，奴隶制的农村公社逐渐瓦解。由于各国畴人的努力，天文、历法工作有了显著成就。战国时期，奴隶制度逐渐破坏，封建制度逐渐建立起来。算筹是我国古代人用的计算工具。“筹”就是一般粗细，一般长短的小竹棍，用算筹进行计算叫做筹算。到春秋战国时期，人们已经能熟练地进行筹算。

战国时齐国人撰写的《考工记》记有尺寸的分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等。在《荀子》、《管子》中有关于“九九”乘法口诀的记载。现在口诀是从“一一得一”起至“九九八十一”止。古时是倒过来的，即从“九九八十一”起至“二二得四”止。至公元前7世纪，如“三九二十七”、“四八三十二”、“六六三十六”等九九口诀在诸子百家文献中多次出现。2002年7月，考古人员在湖南龙山里耶战国 -秦汉古城出土了36000余枚秦简，记录的是公元前221—前210年的秦朝历史，其中有一份完整的“九九乘法口诀表”。

《春秋》一书所记录的“初税亩”，说明在此以前已有测量田亩面积和计算的方法。《史记》记载了齐威王与田忌赛马的故事，为对策论在中国的最早例证。

《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”已成为脍炙人口的命题。这是庄子（约公元前369—前286年）的好友惠施（公元前390—前317年）的命题之一。此命题意为：一尺长的木棍，每天截去其一半，千秋万代也截不完。他看到了事物的无限可分性，是很可贵的。一尺之棰是有限物体，但却可无限地分割下去。有限之中蕴涵着无限，这是有限和无限的辩证统一。但惠施没有看到量变会引起质变，因木棍无限中分下去，分到一定程度就会发生质的飞跃，不再是木棍了。

惠施富有抽象思维能力和逻辑推演能力，但也出现了前后矛盾。“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”他对老子的“一”做了推进：“大一”可以大到无所不包，相当于古之“太极”、今之“宇宙”；“小一”小到不能再分割，相当于古希腊哲学中的“原子”。往两个方向推是对的，但没有至大无外的大一和至小无内的小一，因为宇宙万物是无限可分的，是无穷大的，也是无穷小的。

《墨经》（约公元前400年）中的点、线、面、方、圆等几何概念，为理论数学开启了良好开端。《墨经》是以墨翟（约公元前490—前405年）为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题。它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色。在这一点上，它同欧几里得《原本》相似，一些几何定义也与《原本》中的定义等价。下面举几例：

（1）“平，同高也”——两线间高相等，叫平。

（2）“同长，以正相尽也”——如果两条线段重合，就叫同长。

（3）“中，同长也”——到线段两端的距离相同的点叫中（点）。

（4）“圆，一中同长也”——到一个中心距离相同的图形叫圆。

在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”即用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷；若永远达不到这种程度，叫无穷。

《墨经》中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然；大故，有之必然。”用现代语言说，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件。”

中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学明显不同。

我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455—前395年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现已失传）中已应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五十”，即5个人一年开支1500钱，差450钱。