![数字逻辑电路基础](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/553/678553/b_678553.jpg)
2.2 逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则包括基本公式、基本定理和常用公式。
2.2.1 逻辑代数的基本公式
逻辑代数的基本公式,也叫布尔恒等式,这些公式反映了逻辑代数运算的基本规律,其正确性都可以用真值表加以验证。
1. 关于常量与变量关系公式
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2. 若干定律
交换律:
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结合律:
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分配律:
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互补律:
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重叠律:
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反演律(德·摩根定律):
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还原律:
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2.2.2 逻辑代数的基本定理
逻辑代数的基本定理包括代入定理、反演定理和对偶定理,这些定理也称为逻辑代数的三个规则。
1. 代入定理
代入定理规定:在任何一个包含某个相同变量的逻辑等式中,用另外一个函数式代入式中所有这个变量的位置,等式仍然成立。
因为任何一个逻辑函数和逻辑变量一样,只有0和1两种可能的取值,所以用一个函数取代某个变量,等式自然成立。
例如,将等式A + BC = (A + B)(A + B)两边的变量A用函数EF + D代入等式仍然成立,即:
EF + D + BC = (EF + D + B)(EF + D + B)
代入定理扩大了基本公式的使用范围。例如,已知A+A=1成立,则用AB函数代入A等式亦成立,即:AB+AB=1。
2. 反演定理
反演定理规定:将原函数F中的全部“⋅”号换成“ + ”号,全部“ + ”号换成“⋅”号,全部“0”换成“1”,全部“1”换成“0”,全部原变量换成反变量,全部反变量换成原变量,所得到的新函数就是原函数的反演式,记作F。
反演定理为求取已知函数的反函数提供了方便。在使用反演定理时还需注意遵守以下两个规则:
① 仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。
② 不属于单个变量上的非号应保留不变。
【例2.4】 已知原函数,求其反函数
。
解:用反演定理可得:
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例2.5】 已知原函数 ,求其反函数
。
解:用反演定理可得:
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3. 对偶定理
对偶定理规定:将原函数F中的全部“⋅”号换成“ + ”号,全部“ + ”号换成“⋅”号,全部“0”换成“1”,全部“1”换成“0”,所得到的新函数就是原函数的对偶式,记作F′或F*。
对偶定理和反演定理不同之处是,不需要将原变量和反变量互换。在使用对偶定理时仍需注意遵守反演定理的两个规则。
【例2.6】 已知原函数1 求其对偶式。
解:用对偶定理可得:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0027_0008.jpg?sign=1739318275-SJSasFGjcH7g0lB6HV05lc6hiGRjhIsx-0-592e383b561a7aac8e188d9c49034b50)
【例2.7】 已知原函数,求其对偶式。
解:用对偶定理可得:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0027_0010.jpg?sign=1739318275-ai2pkaHLT26iyZWFXD89wbQ88FdLEga7-0-127ca4d21606ecfd3b18e9d56761e690)
当已知一个公式成立时,利用对偶定理可以得到它的对偶公式。本节基本公式中的式(2.9)~式(2.16)与式(2.9')~式(2.16')互为对偶式。
2.2.3 逻辑代数的常用公式
逻辑代数的常用公式是利用基本公式导出的,直接运用这些常用公式可以给逻辑函数的化简带来方便。
1. 常用公式1
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证:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0002.jpg?sign=1739318275-5CWEEi48dR5003CkyJpZh35PS2Nxlvpt-0-3d0a23431b82e067e71b59229a1a0236)
上式说明,如果两个乘积项除了公有因子(如A)外,不同的因子恰好互补(如B和B),则这两个乘积项可以合并为一个由公有因子组成的乘积项。
根据对偶定理,常用公式1的对偶公式为:
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2. 常用公式2
A AB A+ =(2.19)
证:
A + AB = (1A + B) = A ⋅ 1 = A
上式说明,如果两个乘积中有一个乘积项的部分因子(AB中的A)恰好是另一个乘积项(如A)的全部,则该乘积项(AB)是多余的。
根据对偶定理,常用公式2的对偶公式为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0004.jpg?sign=1739318275-OtMFBE42TTVGavPNyV932GAXDKaIE8jf-0-836eee8a8a41f1372d18ba15ee96e2bd)
3. 常用公式3
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0005.jpg?sign=1739318275-itNGGXkAlcF51axpFgjn5X6yuPeDs4tH-0-a40eb2e40d8cd61068ac7b11ca7d4bd4)
证: (根据式(2.13')分配律得到)
上式说明,如果两个乘积中有一个乘积项(如AB)的部分因子(如A)恰好是另一个乘积项的补(如A),则该乘积项(AB)中的这部分因子(A)是多余的。
根据对偶定理,常用公式3的对偶公式为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0007.jpg?sign=1739318275-mrl2CR9PzJmP3abbnGop88slS62yPiPu-0-da085d1eb50253ab95d5cb3ada0851ee)
4. 常用公式4
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0008.jpg?sign=1739318275-6qoErH1zpqT4PH8A6rsU4kzTPifO05BL-0-fc1b34999bfd339c814bcd7c1258fa74)
证:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0009.jpg?sign=1739318275-utxw6eJ9hCNFrIstNZTmP5pQYF0MrFtl-0-8943a2a71aa6bc6b963c06a39530933a)
推论:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0010.jpg?sign=1739318275-mPAO8nuEEy39zrnjRk3YCc0K6UmE1EUb-0-185ca3477ed3e7fab9d26e40498d826a)
证:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0028_0011.jpg?sign=1739318275-8sfHGn8EPk8ebiusp2qn6TbUk90Ui6NS-0-22838c27d4e0956eb99bfc74fed64773)
常用公式4及其推论说明,如果两个乘积中的部分因子恰好互补(如AB和AC中的A和A),而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三乘积项的因子,则这个第三乘积项是多余的。
根据对偶定理,常用公式4的对偶公式为:
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2.2.4 异或运算公式
异或运算也是逻辑代数中常用的一种运算,关于异或运算有如下公式。
交换律:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0001.jpg?sign=1739318275-IAzhUr1MF53LvH9evQDjPFzOlWNCbn4S-0-d6ede60790a807ec41731f35f1934a8a)
结合律:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0002.jpg?sign=1739318275-9eEf6k1dVz7ehQfSqTC17YTvCihpm94o-0-fcc72f68a1a41dca6664bb4b22a73dcb)
分配律:
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0003.jpg?sign=1739318275-JcUbjqw5pQuP32Lr7pS2PR25sCpiN6Ht-0-14bfe5d172fb219a8bc24713c8452b15)
常量与变量之间的异或运算:
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![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0005.jpg?sign=1739318275-3lMnD68tqtAVHFAKy2KgNDXUZLVVN6Jo-0-94c2ddd0aaa4147db7b164cff830346b)
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0006.jpg?sign=1739318275-GiqcSYN15OXCP4qADYmvltWON4tW69B5-0-9c686ae9615bd32c32d218a39e83353a)
![](https://epubservercos.yuewen.com/1CF7F3/3590429103444301/epubprivate/OEBPS/Images/figure_0029_0007.jpg?sign=1739318275-iH2EeOeBgM88kHeVZ2lU17KG8VnDRnzw-0-010368ab5763ba623b1d3ce7b6eabc67)