逆级数

在描述把某些二项式化简为形如的无穷级数的方法以后，牛顿进一步寻找通过z的项把x表示成级数的方法。用现在的术语，他是寻找逆级数关系。所得到的方法对代数学并未产生显著影响，但是随后将会看到，我们对它的关注是正确的。像牛顿的做法一样，我们通过一个特例来描述求逆级数的过程。

让我们从级数开始，首先将它改写为

并且舍弃所有x的指数大于或等于2的项。自然，这样剩下x-z=0,从而，逆级数开始于x=z。

牛顿认识到舍弃全部高阶项会导致不准确的解。准确的答案应该具备x=z+p的形式，其中p是有待确定的级数。在式（4）中，用z+p代换x，得到

将上式展开并整理后，得到

下一步，舍弃p的2次方项、3次方项和更高次方项，再求解，得到

现在，牛顿实施第二轮删除，舍弃分子和分母中除去z的最低次方项以外的所有z的高次方项。由此，p近似等于，所以，到这一步逆级数表示为x=z+p=z+z2。

但是p并非恰好等于z2。更准确地说，p=z2+q，其中q是有待确定的级数。为求出q，我们将其代入式（5），得到

展开并按q的乘方合并同类项，得到

同前面一样，舍弃q的高于1次方的项，求解得到，然后舍弃分子分母中除去z的最低次方项以外的所有项，得到。至此，级数的形式变成了。

将代入式（6），可以继续这一推导过程。对于代数的单调乏味有着非凡忍耐力的牛顿似乎可以将这样的计算（几乎）无限地延续下去。但是，牛顿最终也乐于回过头来审视结果，寻找某种一般的表达形式。牛顿这样写道：“让考察停留在这里，顺便指出，当第5项或者第6项……为已知时，如果愿意的话，一般来说，通过观察这一过程的相似性，可以把推导随意进行下去”。

对于我们的例子，这种考察表明，是我们开始时的级数的逆级数。

这个结果在什么意义上是可靠的？毕竟，牛顿多次舍弃了绝大多数项，所以，这个答案的正确性还有多大的可信度呢？

下面的“检验”再次让我们安心。原来的级数是公比为的等比级数，所以它的终极形式为。因此，我们看出是等比级数的和。这恰好是牛顿的推导过程给出的结果。一切推导看起来是有条不紊的。

到目前为止，所讨论的方法（广义二项展开式和逆级数）将成为牛顿手中强有力的工具。然而，在我们真正评价这位大师的成果之前，还有最后一项必备知识。