§2.1 广义坐标_分析动力学(第二版)-QQ阅读女生短篇网

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§2.1　广义坐标

2.1.1　完整约束组的区分

考虑N个质点组成的力学系统.设系统受有K个独立的一阶约束

缺秩为零.假定其中有L个约束是一阶线性的.不失一般性，可假定约束组（1.1）的前L个约束是一阶线性的.将这L个约束写成Pfaff形式：

假定我们在约束组（1.2）中找到了一个由d个约束组成的完全可积组.例如，假定

是一个完全可积组，即它满足1.2.3小节中的Frobenius定理的条件.于是这组约束等价（注：此处的“等价”是就约束组（1.3）和约束组（1.4）整组而言的，可参见1.2.5小节.）于如下的约束组

其中f₁（u₁，u₂，…，u_3N，t），f₂（u₁，u₂，…，u_3N，t），…，f_d（u₁，u₂，…，u_3N，t）是完全可积组（1.3）的积分函数.由此可见，（1.3）约束组等价于如下的d个独立的几何约束

（1.5）其中c₁，c₂，…，c_d是由系统初始条件决定的常数.在规定系统一定要在确定的几何约束曲面上时，c₁，c₂，…，c_d就是确定的常数.这时，系统的初始条件是受限制的，应该满足这些具有确定常数的约束方程组（1.5）.因此，这和由初始条件来确定常数是一致的.我们以下研究的正是这种常见的情况.对于系统的完全可积约束组（1.3）仅为一阶约束组而无初始条件限制的情况，只是c₁，c₂，…，c_d应看做未定的常参数，其他和常见的情况并无不同.

几何约束组（1.5）独立的条件是：在所关心的区域上Jacobi矩阵

的缺铁为零；亦即在所关心区域的每个子域上，都能找到点，使矩阵（1.6）的某d阶行列式不等于零.

以上叙述的是一般情况.比较简单的情形有：

（1）系统除完全可积的约束组（1.3）外，别无其他的约束了.这就是系统为完整系统的特殊情况.

（2）系统除完全可积的约束组（1.3）外，还有某些一阶线性约束，但没有非线性约束.这就是系统的约束仅为一阶线性约束的特殊情况.

2.1.2　广义坐标

我们从一般性的意义上来建立广义坐标.

不失一般性，假定在我们所关心的区域上，函数组（1.5）就是对u₁，u₂，…，u_d这一组d个坐标满足

此时，我们引入Descartes位形空间C：{c=［u₁，u₂，…，u_3N］^T}到另一新的空间X：｛x=［x₁，x₂，…，x_3N］^T｝之间的变换，其变换关系式为

x_s=f_s（u₁，u₂，…，u_3N，t），s=1，2，…，3N，　（1.8）

其中前d个函数就是（1.5）式的几何约束表达式，而后3N-d个函数可以任选，只要求保证函数组（1.8）在我们关心的区域上是一个无关组，亦即使

根据隐函数定理，我们可以从关系式（1.8）反解得到

u_s=u_s（x₁，…，x_d，x_d+1，…，x_3N，t），s=1，2，…，3N.　（1.12）

这样，关系式（1.8）和（1.12）就建立了C空间和X空间之间在我们所关心的区域上互相变换的一一映射关系.按照这样的变换，将已知的几何约束组（1.5）变到X空间里，并成为系统在X空间里必须满足的约束关系式，即

x₁=c₁，x₂=c₂，…，x_d=c_d.　（1.13）

在满足（1.13）式这组几何约束的条件下，变换关系式（1.12）成为

u_s=u_s（c₁，…，c_d，x_d+1，…，x_3N，t），s=1，2，…，3N，　（1.14）

其中c₁，c₂，…，c_d为常数.我们记

x_d+1=q₁，x_d+2=q₂，…，x_3N=q_n，　（1.15）

其中n=3N-d.这样，由公式（1.14）就得到在满足约束条件（1.5），亦即满足约束（1.13）的情况下，系统的3N个Descartes位形变元u₁，u₂，…，u_3N用n个变元q₁，q₂，…，q_n表达的关系式

u_s=u_s（q₁，…，q_n，t），s=1，2，…，3N.　（1.16）

注意到，对于满足几何约束条件（1.5）这一点来说，变换关系式（1.16）是自动地达到，而不必再对q₁，q₂，…，q_n有其他的限制了.这是变数q₁，q₂，…，q_n的重要特点.同时，变换式（1.16）的Jacobi矩阵

（注：①注意，这个论断只在“我们所关心的区域”上成立.）.

如上所得到的n个变数q₁，q₂，…，q_n，我们称之为Lagrange广义坐标.对于广义坐标，除如上从变换的意义来理解而外，还可以这样来解释它的几何意义：在Descartes位形空间C中看，所有满足几何约束（1.5）的位形点c实际上组成了系统在（1.5）约束下的可达子空间.在一组确定的常数c₁，c₂，…，c_d情况下，这个子空间是3N-d=n维的.公式（1.16）表明，广义坐标q₁，q₂，…，q_n正是这n维可达子空间某个局部区域上的n个独立的描述参数，或者说是张在这n维可达子空间某个局部区域上的n维曲线坐标.无论从哪一个观点，系统满足几何约束的任意位形（限制在某个局部区域内）都可以用这n个广义坐标表示出来.反之，任意一组广义坐标数值也对应着系统满足几何约束的一个确定位形.由此，类似于Descartes位形空间C一样，我们记

q=［q₁，q₂，…，q_n］^T，

并引入由这n个广义坐标张成的n维空间（注：有关这个空间的度量我们将在需要的地方再赋予.它可能是欧氏的，但更一般的情况则是Riemann的.），来表现系统的位形（指满足几何约束并在某局部区域内的位形；以下未声明者，均同此义）.我们称这个空间为广义坐标位形空间C^q，简称为广义坐标空间.

在这里，我们要着重作一个说明.对于一个力学系统，选定一组确定的广义坐标参数往往会导致位形描述不再具有全局性的限制.这个限制反映在要求［J_q］缺秩为零这项条件上.实际上，由于可达位形子空间具有一般微分流形的特征，一组确定的广义坐标参数一般都不能保证在C^q整个空间里处处有［J_q］缺秩为零.这时可能有奇点（或奇线，奇面），而奇点的邻域就是这组广义坐标失效的区域.我们可以举一个例子来说明.

一质点m约束在以O点为心，r为半径的球面上运动.系统的Descartes位形为

图　2.1

c=［u₁，u₂，u₃］^T=［x，y，z］^T.

这是一个完整系统，受到的约束为

f=［x²+y²+z²-r²］/2=0.

系统的位形可达子空间是由f=0所决定的球面，这是一个二维的子空间.当我们想转移到广义坐标空间来做研究时，我们可以选用球面上的广义坐标q₁，q₂来描述系统的可达位形.例如，通常选q₁为经度角φ，q₂为纬度角θ，如图2.1所示.这时，变换关系（1.16）为

u₁=x=rcosθcosφ，u₂=y=rcosθsinφ，u₃=z=rsinθ，

因而

由此不难看到，若要［J_q］的缺秩为零，其充要条件是θ≠±π/2；也就是说，对于上述选定的经纬度坐标来说，球面的上、下两个极点是奇点，它们的邻域是这组广义坐标失效的区域.

图　2.2

球面上经纬度坐标出现的上述缺陷并不是偶然的，也不是我们选择不当所引起的.实际上，由于球面和二维欧氏空间的不同胚性，球面上任何一组广义坐标都必然不是全局的，而只能是局部的.当然，奇点的数目和位置分布会随着广义坐标的选择而变化.例如，上述经纬度坐标是双奇点的.但是，在球面上可以找到单奇点的广义坐标系统.例如，图2.2所示的坐标网就是球面上单奇点的广义坐标.虽然由这组广义坐标决定的变换关系式要比经纬度坐标复杂，但由于奇点数目减少，这种坐标系统在地球球面导航的应用中是有价值的.

上述的广义坐标局部性质并没有在实用上引起重大的困难.在作了上述说明之后，今后我们在谈到整个广义坐标空间的时候，就不再对这些不大的奇点邻域作一一的说明了.

力学系统任一满足几何约束的运动都表现为q=［q₁，q₂，…，q_n］^T随时间变化的一维轨道.反过来，C^q空间里任一以时间为变元的一维轨道也对应系统满足几何约束的一种“可能运动”.这种一维轨道叫做系统运动的q轨迹.从这里可以看到，仅从满足几何约束来说，系统运动的q轨迹在C^q空间里是完全自由的了.