1.4 连续时间信号的分解

信号的分解特性是系统分析的理论基础。输入信号可以分解为众多基本信号的线性组合，因此只需要研究系统对基本信号的响应，就能方便地得到系统对任意信号的响应。信号可以从不同的角度分解，信号分解方式的不同导致系统不同的分析方法。下面讨论信号的时域分解。

1.4.1 信号的交直流分解

信号f（t）的直流分量是指信号的平均值，记为，它是信号波动的中心。信号随时间变化的部分称为信号的交流分量，记为，并且有

若f（t）是功率信号，则有

式（1-36）说明，信号的平均功率等于其直流功率和交流功率之和。

1.4.2 信号的冲激函数分解

任意信号可以用多个矩形脉冲来逼近，如图1-23所示。

当t=τ时，脉冲高度为f（τ），脉冲宽度为Δτ，存在区间为ε（t–τ）–ε（t–τ–Δτ），于是，此窄脉冲可表示为

当τ从–∞变化到∞时，f（t）可表示为多个窄脉冲的叠加

令Δτ→0，则有

当Δτ→dτ时，，因此有

式（1-38）表明，信号f（t）可以分解为不同时刻的、不同强度的冲激函数之和。在每个分解点τ处冲激的强度为f（τ）。

信号的冲激函数分解在系统分析中有重要意义。当求解信号f（t）通过LTI系统产生响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行叠加和延时即可求得信号f（t）产生的响应。

1.4.3 信号的阶跃函数分解

除了用多个矩形脉冲之和来表示信号之外，信号还可以用一系列阶跃信号的叠加来逼近，如图1-24所示。

当Δt→dτ时，kΔt→τ，∑→∫，因此有

当t从–∞变化到∞时，式（1-39）为

式（1-40）表明，信号f（t）可以分解为无穷多个阶跃信号的叠加。在每个分解点τ处阶跃信号的幅度为f′（τ）。

除了上述分解外，还有前面提到的信号的奇、偶分解以及虚、实分解等。信号的分解是系统分析的基础，不同的分解方法，导致系统不同的分析方法。在后面章节将会介绍信号的其他分解形式。