1.6.3　初等函数的连续性

1.连续函数的和、差、积、商的连续性

定理2　如果函数f（x），g（x）均在点x0处连续，则它们的和、差、积、商在点x0处连续，即f（x）±g（x），f（x）·g（x），在点x0处均连续.

2.复合函数的连续性

定理3　函数y=f（u）在点u0连续，函数u=φ（x）在x0处连续，即，且u0=φ（x0），那么复合函数y=f（φ（x））在x0处连续，即有

发现：只要复合函数连续，则极限符号与函数符号可以交换次序.同理，这个结论可以适用于x的其他几种趋势.

3.反函数的连续性

定理4　如果函数y=f（x）在区间Ix单调递增（或单调递减）且连续，则它的反函数x=φ（y）在对应的区间Iy上单调递增（或单调递减）且连续.

例如，由于y=sinx在闭区间上单调递增且连续，它的反函数y=arcsinx在闭区间[-1，1]上也是单调递增且连续.

4.初等函数的连续性

运用连续的定义可以证明，基本初等函数在其定义域内都是连续的.再根据前面的学习会推得，一切初等函数在其定义区间（指定义域）内都是连续的.

发现：（1）在初等函数定义区间内求函数在点x0处的极限，可直接代入其函数值，即

（2）求初等函数的连续区间就是求定义区间.

例6　求极限.

解　（1）因为初等函数在x=2处连续，故有

（2）因为初等函数y=ln（sinx）在处连续，故有

例7　求极限

例8　求极限

解　令ex-1=t，则x=ln（1+t），x→0时t→0，于是