1.1.3　初等函数

1.基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.常数和基本初等函数经过有限次四则运算构成的函数统称为简单初等函数.

为了方便学习、掌握和查找，将基本初等函数归纳总结如下：

（1）幂函数y=xα（α为任意常数）定义域、奇偶性、单调性因α而异；当α>0时，在[0，+∞）上单调递增；当α<0时，在（0，+∞）上单调递减，其图像如图1-4所示.

（2）指数函数y=ax（a>0，且a≠1）定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）；当0<a<1时，单调递减；当a>1时，单调递增，其图像如图1-5所示.

（3）对数函数y=logax（a>0，且a≠1）定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）；当0<a<1时，在（0，+∞）上单调递减；当a>1时，在（0，+∞）上单调递增，其图像如图1-6所示.

（4）正弦函数y=sinx为奇函数；有界；周期T=2π.定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]；在内单调递增；在内单调递减，其图像如图1-7所示.

（5）余弦函数y=cosx为偶函数；有界；周期T=2π；定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]；在（2kπ+π，2kπ+2π）内单调递增；在（2kπ，2kπ+π）内单调递减，其图像如图1-8所示.

（6）正切函数y=tanx为奇函数；周期T=π；定义域为，值域为（-∞，+∞）；时单调递增，其图像如图1-9所示.

（7）余切函数y=cotx为奇函数；周期T=π；定义域为（kπ，kπ+π），值域为（-∞，+∞）；x∈（kπ，kπ+π）时单调递减，其图像如图1-10所示.

（8）反正弦函数y=arcsinx为有界函数；奇函数；定义域为[-1，1]，值域为；在[-1，1]内单调递增，其图像如图1-11所示.

（9）反余弦函数y=arccosx为有界函数；非奇非偶函数；定义域为[-1，1]，值域为[0，π]；在[-1，1]内单调递减，其图像如图1-12所示.

（10）反正切函数y=arctanx为有界函数；奇函数；定义域为（-∞，+∞），值域为；在（-∞，+∞）内单调递增，其图像如图1-13所示.

（11）反余切函数y=arccotx

有界函数；非奇非偶函数；定义域为（-∞，+∞），值域为（0，π）；在（-∞，+∞）内单调递减，其图像如图1-14所示.

2.常用的三角函数公式和欧拉公式

在学习高等数学知识的时候，常常用到如下公式，为了运用方便，部分公式总结如下：

（1）恒等关系

（2）二倍角公式

（3）和差化积公式

（4）积化和差公式

（5）欧拉公式

eiθ=cosθ+isinθ.

3.复合函数

函数

y=ecos2x，y=ln（1+x2），

都不是基本初等函数，这类函数是由两个或两个以上的简单函数构成的，称为复合函数，下面给出其定义.

定义5　设函数y=f（u）的定义域为M2，而u=φ（x）定义域为D、值域为M1，且u=φ（x）的值域是y=f（u）的定义域的子集，即M1⊆M2，则y通过变量u的作用成为x的函数称为由y=f（u）和u=φ（x）的复合函数，记为

y=f（φ（x）），

其中，x为自变量，u称为中间变量.

例15　（1）求函数y=u2，u=arccosx构成的复合函数；

（2）判断函数y=arcsinu，能否构成复合函数.

解　（1）将u=arccosx代入y=u2中，即为所求的复合函数

y=arccos2x，

其定义域为[-1，1]

（2）由于函数的值域为[2，+∞），不是函数y=arcsinu的定义域[-1，1]的子集，所以不能构成复合函数，即函数无意义.

例16　设f（x）=x2+6，，求f（φ（x）），φ（f（x））.

解　，φ（f（x））=φ（x2+6）=.

例17　指出下列函数由哪些简单函数复合而成.

解　（1）由y=u10，u=6x-5复合而成；

（2）由，u=tanv，复合而成；

（3）由y=u3，u=arctanv，v=2x+1复合而成；

（4）由y=eu，u=sinv，，t=x+1复合而成.

发现：（1）不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数；

（2）复合函数的分解应由外往里，逐层分解.

4.初等函数

定义6　由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数，统称为初等函数.

例如，，，都是初等函数，

发现：初等函数由常数和基本初等函数构成，构成方法是四则运算或有限次的复合，最终要能用一个式子表示.

例如，y=1+x2+x3+…就不是初等函数.