![深入浅出通信原理](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/346/26793346/b_26793346.jpg)
2.3 复指数信号
使用正弦信号作为基本信号进行频谱分析时会涉及三角函数运算,比较烦琐。
欧拉发现欧拉公式之后,人们开始注意到复指数信号。复指数信号作为基本信号进行频谱分析时使用复指数运算,比较简洁,很快取代了正弦信号的基本信号地位。
一、欧拉公式
著名的欧拉公式:
ejθ=cosθ+j sinθ
1.欧拉公式的几何意义
cosθ+j sinθ是一个复数,实部为cosθ,虚部为sinθ,在复平面上对应单位圆上的一个点。根据欧拉公式,这个点可以用复指数ejθ表示,如图2-7所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P62_82515.jpg?sign=1739292779-AdAV09th2fPovRBXn3qCwPPyxBLqUzMB-0-bfcc5c7607632e1c456a409f5d9b2ed7)
图2-7 欧拉公式的几何意义
2.欧拉公式的证明
下面利用泰勒级数展开对欧拉公式进行证明。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P63_82517.jpg?sign=1739292779-ZohQnxqLjJ2KgRIYtJJbDP9L5f9nKS5f-0-f278162523210a67a416fbe869225531)
令z=jx,则
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P63_82518.jpg?sign=1739292779-Po88qXLR75GoiFes67v0fkELqxrGzp33-0-733fc587c0d1ca63afde8153d619383b)
推导过程中用到了:
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P63_82519.jpg?sign=1739292779-Yt8HH3VKUVjcMoIzi6IjOALL4irorc7v-0-39ea406d38c14bcba2dd368580c48140)
证明完毕。
二、如何理解复数
欧拉公式涉及复数,如何理解复数呢?
1.复数的几何意义
为了便于理解,通常用复平面上的向量来表示复数。
复指数ejθ对应的向量:始端为原点,长度为1,辐角为θ,如图2-8所示。
引入向量之后,复数与复指数ejθ相乘就可以用向量旋转来理解。
复数:z=r(cos φ+j sin φ)
直接套用欧拉公式,可得:z=rejφ
复数z与复指数ejθ相乘:
zejθ=rejφejθ=rej(φ+θ)
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P64_82524.jpg?sign=1739292779-KQZXGENM2v6X3LU23Z1YtlrxIBUJTC0q-0-35df5329aedcad22439829f248b2dbc0)
图2-8 复指数信号的向量表示
也就是说:
复数与复指数ejθ相乘,相当于复数对应的向量旋转角度θ:
θ>0逆时针旋转
θ<0顺时针旋转
如图2-9所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P64_82529.jpg?sign=1739292779-7BuB3hEyxvN3sT1dYdDfxbPNShaJaNVQ-0-76dd9befa33f00e0d3d9774f46df3e5a)
图2-9 复数与复指数相乘的向量表示
2.如何理解虚数
复指数ejθ中引入了虚数j,如何理解这个虚数j呢?
讲到这里也许有人会问:数学中的虚数一般用“i”表示,为何物理中一般用“j”表示呢?这是因为物理中经常用“i”表示电流。
关于虚数,如果追溯起来,在高中的时候我们就接触过了。具体说来,应该是在解一元三次方程的时候涉及的。
已知:x3-2x2+x-2=0
求:x
解:
由:x3-2x2+x-2=0
得:x2(x-2)+x-2=(x-2)(x2+1)=0
由:x-2=0
得:x=2(实根)
由:x2+1=0,x2=-1
得:x=±i(虚根)
感觉高中课本纯粹就是为了给x2=-1一个解,才定义了虚数i,其平方为-1,至于虚数i有什么物理意义就不得而知了。
按一般的理解:一个数和它自己相乘,应该得到一个正数才对,例如:2×2=4,(-1)×(-1)=1。为什么虚数i和自己相乘会得-1呢?
虚数刚被提出时,也曾经困扰了很多数学家,被大家认为是“虚无缥缈的数”,直至欧拉发现“欧拉公式”后,人们才对虚数的物理意义有了清晰的认识。
下面我们来看看如何利用欧拉公式理解虚数。
在欧拉公式中,令,得:
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P65_82534.jpg?sign=1739292779-x3RzTeyB1vv2SSXmc7CgeJbyno3Pp7GS-0-88cefbd8e210111b368ed6c74a3ed019)
即:
复数与j相乘,就是与复指数相乘,相当于复数对应的向量逆时针旋转90°。
也就是说,复数与j相乘的过程,也就是向量旋转的过程,如图2-10所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P65_82540.jpg?sign=1739292779-ux34ikgEvYBwrtRGlHTPJrdUvGR4uG8B-0-b19d0632682d87a2cde2a61deedb120e)
图2-10 虚数的平方等于-1的向量表示
根据前面的分析,可以得到:
实数1对应的向量逆时针旋转90°,得到虚数j,即:1×j=j
虚数j对应的向量再逆时针旋转90°,得到实数-1,即:j×j=j2=-1
至此,我们解释清楚了为什么虚数j的平方等于-1。
三、如何理解复信号
当θ以角速度ω0随时间变化时,复指数ejθ就成了复指数信号。
复指数信号:,其中A是幅度,ω0是角速度,φ是初相,如图2-11所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P66_82546.jpg?sign=1739292779-UTqam9wSwtggzlV0CsXZdhEjv64S2Fh3-0-7c9fc4f9cc47ad551e985c26bee96062)
图2-11 复指数信号表达式
如何理解这个复指数信号呢?
1.复指数信号的几何意义
复平面上的一个长度为A的旋转向量,始端位于原点,从角度φ开始,以角速度ω0围绕原点旋转,其末端在复平面上的轨迹就是复指数信号。
0时刻:复指数信号s(0)=Aejφ,对应的向量如图2-12所示。
t时刻:复指数信号,对应的向量如图2-13所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P66_82558.jpg?sign=1739292779-UaPNlanNsI67Q6FNhAZIt3EUXg9HgAxQ-0-adab405649b20fef22988d889829d2bb)
图2-12 复指数信号对应的旋转向量(0时刻)
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P66_82560.jpg?sign=1739292779-Hncm9rTAKBB5dY9lkw8FxIBqeby1lszb-0-8e94ff223359ba1da338052522b633b4)
图2-13 复指数信号对应的旋转向量(t时刻)
假定:A=1,ω0=2π,φ=0
则:s(t)=ej2πt,这个复指数信号随时间变化的轨迹如图2-14所示。
这个复指数信号在复平面上的投影是个单位圆,如图2-15所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P67_82561.jpg?sign=1739292779-BxMuOLx2ZYSWjTWyu0Gs1lIxq4h0ywVT-0-af33e045a29f3e35f32a5c852ed4db04)
图2-14 复指数信号随时间的变化轨迹
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P67_82562.jpg?sign=1739292779-3RC2OPktGW0OIu6IOwtmaAiDzjih523m-0-f482c26537693e63872eaedcd58f94d6)
图2-15 复指数信号在复平面上的投影
这个复指数信号在实轴(x轴)上的投影随时间变化的曲线如图2-16所示。
这个复指数信号在虚轴(y轴)上的投影随时间变化的曲线如图2-17所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P68_8445.jpg?sign=1739292779-cftAvu9V2PKslYdfKjyHolu9DAzJAm5W-0-5cba8c1ad3c87a146caf4484286c6e69)
图2-16 复指数信号在实轴上的投影随时间变化的曲线
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P68_82564.jpg?sign=1739292779-eF8OjuzgtrEAJ1JndRhDdeSbPWBRpQSI-0-60a0ce52cffbd78b0227ee2ead54acff)
图2-17 复指数信号在虚轴上的投影随时间变化的曲线
由复指数信号在复平面上的投影是个圆,很容易让人想起物理中学过的李萨育图形。
2.李萨育图形
使用互相成谐波频率关系的两个信号x(t)和y(t)分别作为X和Y偏转信号送入示波器,如图2-18所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P69_82567.jpg?sign=1739292779-18OmnK34O5g6BfiraCCk4jYBx2JpVtaI-0-f681d290dfe05596964f658870335ae9)
图2-18 示波器工作原理
这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而在荧光屏上描绘出稳定的图形,这些稳定的图形就叫“李萨育图形”,如图2-19所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P69_8665.jpg?sign=1739292779-0iHQ0P0ywcLFZF3676Hkyc6E637mch60-0-d6093ce3281991657372a35ca6184c36)
图2-19 李萨育图形
各种李萨育图形对应的X轴和Y轴输入信号、电子束运动轨迹函数如表2-1所示。
表2-1 示波器输入信号和电子束运动轨迹函数
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-T69_82568.jpg?sign=1739292779-WbLlpm9ycGD24nRa9y4pWJxGeDKLNC3r-0-b73d498b7b6b266633c3a3f678e48b17)
表中第一个李萨育图形实质就是复指数信号ej2πft在复平面上的投影。
再来看一下第二个李萨育图形,其实质就是复信号f(t)=cos(2πft)+j sin(4πft)在复平面上的投影,如图2-20所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P70_82569.jpg?sign=1739292779-S7AI61owPZ40EBzIhWapH2T9UjFKeC72-0-a428cc353f914fff7d1ce4b2474903bc)
图2-20 一个复信号的三维波形
3.什么是复信号
通过上面的讲解,可以发现:
复信号的本质就是并行传输的2路实信号。之所以被称为复信号,只是因为这个信号可以用复数来表示而已。
假定:x(t)和y(t)是并行传输的2路实信号。
这两路实信号用一个复信号来表示就是:
f(t)=x(t)+jy(t)
需要注意的是:
引入复信号只是为了便于描述和处理信号而已,实际通信系统中都是并行传输2路实信号,并没有传输虚数j。
如图2-21所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P71_82580.jpg?sign=1739292779-97Yc328OvclaNdvRK36Kvi59RG5UEFHY-0-33c83a12a43e097072a60390e5fc2f7a)
图2-21 复信号的传输
四、复指数信号的特性
1.复指数信号的积分特性
复指数信号有一些很好用的性质,积分特性就是其中一个:
对一个复指数信号做积分,当积分区间取复指数信号周期的整数倍时,积分结果为零。
复指数信号:
在整数个周期内做积分:
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P71_82587.jpg?sign=1739292779-HIo6rEOUr50anrUsQxSoWAIYFiYE3FUs-0-6c1686034e993f74655c6dbf22e4ca45)
根据正弦信号的积分特性,上式的积分结果为0,即
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P71_82588.jpg?sign=1739292779-tTsLOh0cpi4zhGhBZitCzqNe6uj8HHmc-0-cdd40e50140b369aaee4bda56998b3f2)
其中,
n是整数;
T0是复指数信号的周期:。
2.复指数信号的正交特性
复指数信号的另外一个很好用的性质是正交特性:
复指数信号集合{ejω0t,ej2ω0t,ej3ω0t,…}由基波ejω0t和二次谐波ej2ω0t等各次谐波组成。
在这个复指数信号集合中:
- 任意1个复指数信号与另1个复指数信号共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为0。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P71_82595.jpg?sign=1739292779-M7GQILVtlHEuJohGr9kVqPDGF6jwjd0G-0-928316870659fe6a5186b2b96215980a)
- 任意1个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为T0。
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P72_82598.jpg?sign=1739292779-6aCSy5dikqaDSdwtRsVd1uQeQ4A4Sdi5-0-896d990f888449fd7a812eb6d100c621)
证明:
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P72_82599.jpg?sign=1739292779-2cnqq0bb3DVZz27Qoq9qqlnvU1dXF8bX-0-a2a3e42c0508781208d6e6ea584a40d3)
当m≠n时,根据正弦信号的积分特性,上式的积分结果为0
即:
当m=n时,余弦项变为1,正弦项变为0,得:
![](https://epubservercos.yuewen.com/84CA1D/15253381904092106/epubprivate/OEBPS/Images/Figure-P72_82605.jpg?sign=1739292779-OTX7iAPJ0ZAMbLXC0jEDNLbN6GdXLCd0-0-c059065d8309cd3717213a159261751f)
即:
证明完毕。