第一章 数列极限与函数极限

一、预备知识

（一）实数及其性质

1.实数的构成

2.实数的运算

实数的各种运算（四则运算、乘幂等）及中学介绍的运算法则均适用.

3.实数的性质

（1）封闭性：（实数集R对+，-，×，÷）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.

（2）有序性：任意两个实数a，b必满足下列关系之一：a＜b，a＞b，a=b.

（3）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c，或者a＜b，b＜c⇒a＜c.

（4）阿基米德性：∀a，b∈R，b＞a＞0⇒∃n∈N使得na＞b.

（5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.

（6）实数与数轴（规定了原点、正方向、单位长度的直线）上的点有着一一对应关系.

（二）绝对值与不等式

绝对值与不等式是数学分析中进行论证的基本工具之一.

1.绝对值的定义

实数a的绝对值的定义为.

2.性质

（1）|a|=|-a|≥0；|a|=0⇔a=0（非负性）；

（2）-|a|≤a≤|a|;

（3）|a|＜h⇔-h＜a＜h,|a|≤h⇔-h≤a≤h (h＞0);

（4）对任何a，b∈R，有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（三角不等式）；

（5）|ab|=|a|·|b|;

（6）.

（三）几个重要不等式

（1）对于任意实数a，b有a2+b2≥2|ab|≥2ab；

（2）对于任意实数x有|sinx|≤1，|sinx|≤|x|；

（3）对满足x＞0的一切x，有sinx＜x；

（4）均值不等式.

对∀a1，a2，…，an∈R+，则有如下均值不等式：

这里等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.特别地，两个正数a，b的均值不等式：

记忆技巧：调几算平（即按照从小到大的顺序：调和平均、几何平均、算术平均、平方平均）.

（5）利用二项展开式得到的不等式.

设n≥3，则对∀h＞0，由二项展开式，有

一般地，当n≥k≥2时，有