第一部分 历年真题及详解
2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1设f（x）＝x2（x－1）（x－2），则f′（x）的零点个数为（ ）。
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【考点】导数的概念及四则运算法则
【解析】f′（x）＝4x3＋3x2－4x＝x（4x2＋3x－4）。令f′（x）＝0，可得f′（x）有三个零点。
2如图1所示，曲线方程为y＝f（x），函数在区间[0，a]上有连续导数，则定积分
在几何上表示（ ）。
图1
A．曲边梯形ABOD面积
B．梯形ABOD的面积
C．曲边三角形ACD面积
D．三角形ACD面积
【答案】C
【考点】积分的几何意义
【解析】
其中af（a）是矩形面积，
为曲边梯形的面积，所以
为曲边三角形ACD的面积。
3在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3为任意的常数）为通解的是（ ）。
A．y‴＋y″－4y′－4y＝0
B．y‴＋y″＋4y′＋4y＝0
C．y‴－y″－4y′＋4y＝0
D．y‴－y″＋4y′－4y＝0
【答案】D
【考点】常微分方程特征值的解法
【解析】由y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x，可知其特征根为λ1＝1，λ2，3＝±2i，故对应的特征值方程为
（λ－1）（λ＋2i）（λ－2i）＝（λ－1）（λ2＋4）＝λ3－λ2＋4λ－4
所以所求微分方程为y‴－y″＋4y′－4y＝0。
4判定函数
间断点的情况（ ）。
A．有一个可去间断点，一个跳跃间断点
B．有一个可去间断点，一个无穷间断点
C．有两个跳跃间断点
D．有两个无穷间断点
【答案】A
【考点】函数间断点类型的判断
【解析】函数可能的间断点有x＝0，x＝1两个。
在x＝0时，
故x＝0是可去间断点。
在x＝1时，
故x＝1是跳跃间断点。
5设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是（ ）。
A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛
B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛
C．若{f（xn）}收敛，则{xn}收敛
D．若{f（xn）}单调，则{xn}收敛
【答案】B
【考点】利用单调有界定理证明数列收敛
【解析】由函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界可知，若{xn}单调，则{f（xn）}单调有界。根据单调有界定理，进一步可得{f（xn）}收敛。
6设函数f（x）连续，
其中区域Duv如图2阴影部分所示，则∂F/∂u＝（ ）。
A．vf（u2）
B．vf（u）
C．vf（u2）/u
D．vf（u）/u
图2
【答案】A
【考点】利用极坐标变换计算二重积分
【解析】利用极坐标，得
所以∂F/∂u＝vf（u2）。
7设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3＝O，则下列结论正确的是（ ）。
A．E－A不可逆，则E＋A不可逆
B．E－A不可逆，则E＋A可逆
C．E－A可逆，则E＋A可逆
D．E－A可逆，则E＋A不可逆
【答案】C
【考点】可逆的定义
【解析】（E－A）（E＋A＋A2）＝E－A3＝E，（E＋A）（E－A＋A2）＝E＋A3＝E。故E－A，E＋A均可逆。
8设
则在实数域上，与A合同的矩阵为（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【考点】矩阵合同的判定、惯性定理
【解析】
则λ1＝－1，λ2＝3，记
则
则λ1＝－1，λ2＝3，矩阵A和矩阵D的正负惯性指数相同，故选D项。
二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）
9已知函数f（x）连续，且
则f（0）＝______。
【答案】2
【考点】函数连续的概念、利用等价无穷小简化计算极限
【解析】因为函数f（x）连续，所以
所以f（0）＝2。
10微分方程（y＋x2e－x）dx－xdy＝0的通解是______。
【答案】y＝x（C－e－x）
【考点】微分方程通解的求法
【解析】对微分方程进行变形可得
此为一阶线性非齐次微分方程，通解为
11曲线sinxy＋ln（y－x）＝x在点（0，1）的切线方程为______。
【答案】y＝x＋1
【考点】导数的几何意义；已知曲线方程，求曲线在某点处的切线方程
【解析】由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为k＝y′|（x＝0）。令f（x，y）＝sinxy＋ln（y－x）－x，则
所求切线方程为y＝x＋1。
12曲线y＝（x－5）x2/3的拐点坐标为______。
【答案】（－1，－6）
【考点】曲线拐点的计算方法
【解析】由题意可知y＝x5/3－x2/3，则有
令y″＝0，得x＝－1，且有x→0时，y″→∞。又因为在x＝－1的左、右邻域y″变号，在x＝0的左、右邻域y″不变号，所以拐点为（－1，－6）。
13设
则
______。
【答案】
【考点】复合函数偏导数的计算方法
【解析】由于
令r＝x（lny－lnx）/y，运用链式求导法则可得
所以
14设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ。若行列式|2A|＝－48，则λ＝______。
【答案】－1
【考点】矩阵A的行列式与其特征值的关系
【解析】因为|A|＝6λ，且A为3阶矩阵，故有|2A|＝23|A|＝8×（6λ）＝48λ＝－48，所以λ＝－1。
三、解答题（15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题满分9分）
求极限
【考点】利用等价无穷小、两个重要极限求极限
解：方法一：
方法二：
16（本题满分10分）
设函数y＝y（x）由参数方程
确定，其中x＝x（t）是初值问题
的解，求d2y/dx2。
【考点】由参数方程所确定的函数的求导法则
解：由dx/dt－2te－x＝0，得exdx＝2tdt，积分得ex＝t2＋C。
由条件x|t＝0＝0，得C＝1，即ex＝t2＋1，故x＝ln（1＋t2）。
方程组
两端同时对t求导得
所以dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝（1＋t2）ln（1＋t2）。
从而
17（本题满分9分）
计算
【考点】反常积分的概念、计算方法
解：方法一：由于
故
是反常积分。
令arcsinx＝t，有x＝sint，t∈[0，π/2），则
方法二：
令arcsinx＝t，有x＝sint，t∈[0，π/2），则
所以
18（本题满分11分）
计算
，其中D＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}。
【考点】二重积分的计算
解：曲线xy＝1将区域D分成如图3所示的两个区域D1和D2。则有
图3
19（本题满分11分）
设f（x）是区间[0，＋∞）上具有连续导数的单调增加函数，且f（0）＝1。对任意的t∈[0，＋∞），直线x＝0，x＝t，，曲线y＝f（x）以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f（x）的表达式。
【考点】用定积分表示旋转体体积与侧面积，积分上限函数的导数计算
解：根据题意，因为旋转体体积
侧面积
所以
上式两边同时对t求导得
解得
由y（0）＝1，得C＝1；所以
20（本题满分11分）
（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得
（Ⅱ）若函数φ（x）具有二阶导数，且满足φ（2）＞φ（1），
则至少存在一点ξ∈（1，3），使得φ″（ξ）＜0。
【考点】闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其应用、微分中值定理的应用
证明：（Ⅰ）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则必存在最大值M和最小值m，即m≤f（x）≤M，x∈[a，b]。
于是有
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，在[a，b]上至少存在一点η∈[a，b]，使得
因此而得证。
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论可得，存在η∈[2，3]，使得
由
知η∈[2，3]。
由φ（2）＞φ（1），利用微分中值定理，存在ξ1∈（1，2），使得
由φ（2）＞φ（η），利用微分中值定理，存在ξ2∈（2，η），使得
存在ξ∈（ξ1，ξ2）⊂（1，3），使得
21（本题满分11分）
求函数u＝x2＋y2＋z2在约束条件z＝x2＋y2和x＋y＋z＝4下的最大值和最小值。
【考点】用拉格朗日乘数法求条件极值
解：作拉格朗日函数
F（x，y，z）＝x2＋y2＋z2＋λ（x2＋y2－z）＋μ（x＋y＋z－4）
令
解得（x1，y1，z1）＝（1，1，2），（x2，y2，z2）＝（－2，－2，8）。
故所求得最大值为72，最小值为6。
22（本题满分12分）
设n元线性方程组Ax＝b，其中
（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）an；
（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解。
【考点】行列式的计算，线性方程组的求解
证明：（Ⅰ）方法一：数学归纳法
记
以下用数学归纳法证明Dn＝（n＋1）an。
当n＝1时，D1＝2a，结论成立；
当n＝2时，
结论成立；
假设结论对小于n的情况成立。将Dn按第一行展开得
故|A|＝（n＋1）an。
方法二：消元法
记
（Ⅱ）当a≠0时，方程组系数行列式Dn≠0，故方程组有唯一解。由克莱姆法则，将Dn得第一列换成b，得行列式为
所以，当a≠0时，有唯一解
（Ⅲ）当a＝0时，方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以方程组有无穷多组解，其通解为x＝（0，1，0，…，0）T＋k（1，0，…，0）T，其中k为任意常数。
23（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3。
（Ⅰ）证明α1，α2，α3线性无关；
（Ⅱ）令P＝（α1，α2，α3），求P－1AP。
【考点】向量线性无关的定义，矩阵的计算
证明：（Ⅰ）设存在数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0①。
由已知条件知Aα1＝－α1，Aα2＝α2。用矩阵A分别乘式①的左右两边，得－k1α1＋k2α2＋k3（α2＋α3）＝0②。
式①－②得2k1α1－k3α2＝0。
由于α1，α2为A的分别属于－1，1的特征向量，所以α1，α2线性无关，即k1＝k3＝0，代入①得k2α2＝0。
因为α2是A的特征向量，α2≠0，得k2＝0，即k1＝k2＝k3＝0，所以α1，α2，α3线性无关。
（Ⅱ）由题意有
因为α1，α2，α3线性无关，所以矩阵P可逆，得
