第二节 立竿测影对空间原型的影响

一、“天地之数”

立竿测影是先民很早就采用的天文观测和历法方法，圭表就是由立竿测影的表或竿演变来的。仪征东汉墓出土的铜圭表是反映这一发展轨迹较早的实物，考古天文学家认为远在新石器时代，我们的先民就懂得如何利用天象观测确定方位了。陆思贤、李迪认为，我国新石器时期的八角星纹图案就是立竿测影天文观测活动的记录。这种图案的基本形式是：中间为正方形，正方形四边外侧各画一组燕尾角，整体成“四方八角”。目前考古发现证明，这种图案集中在长江中下游和黄河下游地区，最早的实例可追溯到公元前5000至前4000年的马家浜文化，如江苏武进潘家塘出土的马家浜文化时期的八角图案。较晚的则是公元前2000年的小河沿文化，如内蒙古敖汉旗小河沿出土的八角图案。这一现象前后延续长达2000年。这种图形说明中国古代天圆地方宇宙观与立竿测影的关系及其古远源流。具体地说，这种图案就是二至日出入方位的连线的交叉，甲骨文反映为×（五）的符号。

《周髀算经》就是在立竿测影技术发展到相当成熟时，利用该技术观测天象，推算太阳一年四季的运行空间。它的观测地点应当是周王朝活动的中心地区，即北纬35°—36°的地带，于是有二至二分时晷影观测的以下数据：表8尺，冬至影13.5尺，夏至影长1.6尺，以及由二至晷影长推测出的二分晷影长度7.55尺等。《前汉书·天文志》记载的观测数据与《周髀算经》略有不同。古人相信“影差一寸千里”，所以《周髀算经》（卷上之二）推出冬至日底去周13.5万里，夏至日底去周1.6万里，春秋分日底去周7.55万里。虽然《周髀算经》认为大地在天地之中的极下隆起，像倒扣的盘子，但把可测量的空间视为平行展开的，而非圆曲之形，所以根据周髀二至二分及夜半观测北极得到的数据，先民可直接得到如图1-8所示的几何图形，其中OO'为八尺之表或天高八万里，O表示观测点周地，从O到二至、二分的晷影端点的连线分别表示二至、二分日中时日南去周地的度数，即《周髀算经》（卷上二）所说的“邪至日者”，古人可以用绳子直接量出，或利用勾股定理推算出表顶到晷影端点的长度。古人观察到，夏至时北回归线地带日下无投影或为正投影，所以把这时日斜去周地的距离8.16万里视为是天之半径，所以《晋书·天文志》（卷十一）说夏至“日邪射阳城为天径之半”，并以夏至晷影1.5尺为据，推算出天之半径为8.14万里。另外，《周髀算经》还根据二至的晷影长度差推出夏至日底去极下11.9万里，这也是夏至日绕极运行的轨道的半径，二分日底去极下或日道（即赤道）半径相等，为17.85万里，冬至日底去极下或日道半径23.8万里，二至日道半径相加与二分日道半径之和相等。

从《后汉书·律历志》《晋书·天文志》《律历志》《旧唐书·历志二》《宋史·律历志八》等正史记录的二十四节气的晷影数据，我们可以了解晷影长度及太阳高度角的变化规律。如表1-2所示，首先，节气之间的晷影差和相应的太阳高度角不是均等的，或者说晷影和太阳高度的损益与时间的变化之间的关系不是线性的；其次，雨水节与前后的立春、惊蛰二节气的晷影的差值最大，夏至晷影前后的节气之间的晷影差最小，相应地，节气间太阳高度角的差的最大值也存在于雨水节前后。

在我国远古的观象授时实践中，对北极的观测占有重要地位。我们的先民认为整个宇宙是以北极为轴做拱极运动的，把代表北极的星体视为至尊。在新石器时期，北斗七星十分接近真北极（这里有较暗的天一、太一二星），而且环绕北极运动。北斗的第一颗星天枢一年中在空中的轨迹为圆，古代称之为璇玑四游。即《周髀算经》（卷下之一）所说的“北极枢旋周四极”。《周髀算经》（卷下之一）记录了古人观测璇玑四游的观测方法：

正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，希望北极中大星，引绳致地而识之。又到旦明，日加卯之时，复引绳希望之。首及绳致地而识其端，相去二尺三寸。故东西极二万三千里。……其绳致地所识去表丈三寸，故天之中去周十万三千里。

何以知其南北极之时？以冬至夜半北游所极也，北过中天万一千五百里；以夏至南游所极不及中天万十一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之。北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十一万四千五百里。过天中万一千五百里，其南极至地所识九尺一寸半。故去周九万一千五百里，其南不及天中万一千五百里。此璇玑四极，南北过、不及之法，东西南北之正句。

从中国古代观测二至、二分晷影和二至观测璇玑四游、测量天中的过程中，有两组八个数据是最基本的。第一组四个：二至、二分日中晷影的长度；第二组四个：二至二分观测璇玑四游在地面上的正投影长度。《易·系辞》说：“天数五地数五。”显然第二组数据为“天数”，是测量北极及璇玑四游的基本数据；第一组为“地数”，为测量晷影的基本数据。为什么说天地之数都是五呢？关键是下面一句：“五位相得而各有合。”就是说，天、地之数各五，分别表示各有东、西、南、北、中五个数据点。测量晷影中，“土中”没有观测数据，是由其他四个数据推导出的。

我们知道，“五”在古文中还表示东、西、南、北四个方位相交于中的意思。《说文·五部》说：“五，五行也，从二。阴阳在天地间交午也。”即天地在午时相交之意。“十”也是相交的意思。《说文·十部》说：“十，数之具也。一为东西，丨为南北，则四方中央备矣。”《尚书·洪范》说：“五，皇极。”《正义》说：“‘皇’，大也。‘极’，中也。”郑康成注《周易·系辞》说：“天一生水于北，地二生火于南，天三生木于东，地四生金于西，天五生土于中。阳无耦，阴无配，未得相成。地六成水于北，与天一并；天七成火于南，与地二并；地八成木于东，与天三并；天九成金于西，与地四并，地十成土于中。”清楚说明了观测十个数据点的方位所在。《洪范》提到了五行的顺序：“一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。”这与上述观测的顺序是一致的，当是对立竿测影原始含义的记录。

二、十二律与黄赤交角

以律管候气是我们的先民使用的一种古老方法，但这种方法到南北朝时已鲜有人知了。由于天文与气候观测在古代社会占有极其重要的地位，律就成为古代中国社会礼制体系中极其重要的组成部分。《史记·律书》（卷二十五）说：“王者制事立法，物度轨则，壹禀于六律。其六律为万事根本焉。”《汉书·律历志上》说：“律十有二，阳六为律，阴六为吕。”律就是音律。

《晋书·律历志上》（卷十六）说：“黄帝作律，以玉为管，长尺，六孔，为十二月音。”《吕氏春秋·音律》说：“天地之气，合而生风，日至则月钟其风，以生十二律。仲冬日短至，则生黄钟。季冬生大吕。孟春生太簇。仲春生夹钟。季春生姑洗。孟夏生仲吕。仲夏日长至，则生蕤宾。季夏生林钟。孟秋生夷则。仲秋生南吕。季秋生无射。孟冬生应钟。天地之风气正，则十二律定矣。”

古人还用管律吹灰的方法观察一年十二月的地气之动是否合乎规律。《晋书·律历志上》（卷十六）说：“又叶时日于晷度，效地气于灰管，故阴阳和则景至，律气应则灰飞。灰飞律通，吹而命之，则天地之中声也。故可以范围百度，化成万品，则《虞书》所谓‘叶时月正日，同律度量衡’者也。”（参见第二章第四节）

对于十二律管长的损益，《史记·律书》说：“生黄钟术曰：‘以下生者，倍其实，三其法。以上生者，四其实，三其法。’”《吕氏春秋·音律》（卷六）说：“三分所生益之一分以上生，三分所生去其一分以下生。”十二律以黄钟为始，其他律管逐渐减短。如黄钟的长度为1，其法则是取其2/3为林钟，再以林钟的长度增加1/3，即乘以4/3为太簇，以此重复按照一定顺序衍生出十二律管的长度。现代声学告诉我们，物体的振动频率与其长度成反比。管径一定的同一材质的管子尺寸愈长，声音愈低沉。当管长减半时，频率增至原来的二倍，两管之间的音互为“八度音”。中国古代以黄钟管长为基础，按照三分损益法经过十二次益损后最终生成应钟，黄钟大致是应钟管长的2倍。

《史记·律书》“生钟分”按先上生，即先增至4/3，后下生，即再减至2/3的顺序，列出了十二支辰的损益值。子最大，为1分，亥最小，其值为65536/177147＝0.37，就是说亥大致是子的1/3。按这样顺序损益显然不能将十二律控制在一个八度音的范围内。为此，《吕氏春秋·音律》做出了七上生、五下生的规定：“黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上；林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”于是在十二律生成顺序中，相邻的蕤宾、大吕二律连续上生2次：“黄钟（十一月律）生林钟（六月律，下生），林钟生太簇（正月律，上生），太簇生南吕（八月律，下生），南吕生姑洗（三月律，上生），姑洗生应钟（十月律，下生），应钟生蕤宾（五月律，上生），蕤宾生大吕（十二月律，上生），大吕生夷则（七月律，上生），夷则生夹钟（二月律，下生），夹钟生无射（九月律，上生），无射生仲吕（四月律，下生）。”这样就保证了最大值的黄钟与最小值的应钟大致为2倍的关系，使十二管律满足了一个八度音的声学要求，于是有了《史记·律书》以及更晚的典籍列出十二律数值。

但十二律的损益率是如何与候气产生关系的呢？要回答这一问题，我们有必要对中国古代关于黄赤交角的相关文献进行深入分析。黄赤交角是中国古代天文观测的核心内容之一，因为它反映了太阳从二至移动到二分的高度角的变化。我国古代较早系统论述黄赤交角的文献是《晋书·天文上》（卷十一），宋朝魏了翁《尚书要义》（卷二）引王蕃浑天说曰：

天半覆地上，半在地下。其天居地上见有一百八十二度半强，地下亦然。北极出地上三十六度，南极入地下亦三十六度。而嵩高正当天之中。极南五十五度，当嵩高之上。又其南十二度为夏至之日道。又其南二十四度为春秋分之日道。又其南二十四度为冬至之日道。南下去三十一度而已。是夏至日北去极六十七度，春秋分去极九十一度，冬至去极一百一十五度，此其大率也。

以上这些数据当然都是利用立竿测影技术得到的。上文所说的“又其南二十四度为春秋分之日道。又其南二十四度为冬至之日道”指的是黄赤交角，它是黄道面与天球赤道面的最大夹角。根据米科维奇循环理论，黄赤交角存在周期性变化，其值在22.5°至24.5°之间，周期为41000年。今天的黄赤交角为23°26'或23.33°，现在正处于逐渐变小的时期。过去一个周期的最大值约在8700年前。我们生活的地球正是由于黄赤交角的存在才产生了南北半球四季的变化，所以掌握了黄赤交角就可以方便地预测一年四季，这是任何古代文明生存的基本前提。

虽然《周髀算经》列出了反映二至的日南去周地角度的晷影长度，以及北极的投影长度，如前文所述，这些数据之间存在明显的系统误差。所以本书以《晋书·天文志》给出的系统数据为依据，即黄赤交角为24天度，合23.98°，北极去地36天度，合35.96°，夏至日南去观测地12天度，合11.99°。当然《天文志》中记载的以上角度数据不是精确值，是简化过的。所以在此我们只取用黄赤交角为23.98°这一数据。同时取《天文志》（卷十六）记录的夏至晷影长1.5尺的数值。这样我们可绘制出图1-11，表示二至、二分观测晷影的情况。OO′为8尺之表，∠AO′B表示二至日南去周的角度差，即黄赤角的2倍，等于47.96°。O′C为二分时的日道平面，其角度为55.4°。冬至晷影长OA＝13.10尺，夏至晷影长OB＝1.5尺，二分晷影长OC＝5.52尺。利用勾股定理，可以推出：O′A＝15.35尺，O′B＝8.14尺，O′C＝9.72尺。且二至晷影差AB＝11.6尺，BC＝4.02尺，CA＝7.58尺。则△BO′A存在以下关系：

O′A∶AB＝15.35∶11.6＝1.32≈4∶3；

BA∶CA＝11.6∶7.58＝1.53≈3∶2。

《吕氏春秋·仲夏纪·古乐》（卷五）说：

昔黄帝令伶伦作为律。伶伦自大夏之西，乃之阮隃之阴，取竹于嶰溪之谷，以生空窍厚钧者，断两节间——其长三寸九分——而吹之，以为黄钟之宫，吹曰舍少。次制十二筒，以之阮隃之下，听凤皇之鸣，以别十二律。其雄鸣为六，雌鸣亦六，以比黄钟之宫，适合；黄钟之宫皆可以生之。故曰：黄钟之宫，律吕之本。

明代朱载堉《乐律全书·律吕精义内篇一》解释说：

数九自乘得八十一，是为阳数。盖十二者天地之数也。百二十者律吕之全数也。除去三十九则八十一耳。……（先儒）指三寸九分为黄钟之长者，误矣。八寸一分、三寸九分合而为十二寸，即律吕之全数。全数之内断去三寸九分，余为八寸一分，即黄钟之长也。

从图1-11中可以看出，朱载堉上述解释所举的三个数与△BO′A的三条边的数值的比例关系十分接近。三寸九分可能就是指BA≈12尺与O′B≈8.1尺之间的差。虽然朱氏未必从黄赤交角的角度出发去分析问题，但他所提到的传统律吕文化中的数理之间的关系却折射了十二律与黄赤交角之间的内在关系。

从图1-11中可知，冬至日南斜去观测地的距离O′A与二至晷影长度差的比为4∶3，二至晷影差BA与二分到冬至的晷影差CA的比为3∶2，这两个比值可能就是三分损益法的源起所在。首先，按照《周髀算经》，二至晷影差反映了二至间太阳运行的最大距离或角度，二分到冬至的晷影差则反映了二分太阳从极南点A运行到二分点C的距离。不过《周髀算经》处于某种考虑把二分点定在了BA的中间，关于这一点我们将在下文中做专门分析。三分之一下损法的含义是，太阳从二分运行到冬至极南点其间距离为二至太阳运行全程的2/3，或太阳从夏至极北点B运行到二分点C，期间距离为二至太阳运行全程的1/3。由于BC、CA、BA大致存在1∶2∶3的关系，所以《道德经·道化》说：“一生二，二生三，三生万物。”即从夏至到秋分为1，从秋分到冬至为2，二者合为3，完成了阴阳损益的一个过程，万物得以生化。以是观之，《道化》的下面一句“故物或损之而益，或益之而损”，当是对一年四季日影长短的变化规律的总结。

上文提到，要满足十二管律在一个八度音的范围内的声学要求，不能简单地按4/3、2/3、4/3……的循环顺序损益律管长度，否则管长差值过大。如果单纯地用数学的方法去反复调整这一数值系统，使之达到相应要求，显然太复杂，先民应该有更为简易的方法发现管律间的数理关系。

《周髀算经》（卷下之二）说：

凡八节二十四节气，气损益九寸九分六分分之一。冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸，问次节损益寸数长短各几何？……术曰：置冬至晷以夏至晷减之余为实，以十二为法。

除二至晷影长度外，二十四节气其他节气的晷影长度是按二至晷影差12等分后在二至晷影长度的基础上损益生成的。仍采用《晋书·天文志》关于黄赤交角及夏至晷影1.5尺的数据，按表高8尺，可推出二至晷长度差为11.60尺，除以12，每份0.966尺。据此，在BA线段上有11个等分点，A、B分别表示二至晷影端点，对于其他22个节气的晷影端点，每个点都表示两个对称的节气，如二分、立春与立秋等。如果将这11个点分别与表端O′相连，于是有推测出的各节气时太阳去观测地的度数。在立竿测影实践的早期，晷影端点与表端的长度是用绳子测量的，所以称之为弦。这种测量方法简易方便。

如果我们把冬至晷对应的弦长与其他12根弦长进行比较（表1-4列出了各弦的长度），就会发现除夏至点前的二晷影相对应的弦长的比值出入稍大外，其他的比值都非常接近三分损益法推出的理论值中黄钟与相应的律管长度的比值。如果把夏至前的二晷的弦合二为一，它们的平均长度与冬至弦长的比值为1.80，刚好与黄钟与无射的比值吻合，同时弦数也从13根减到12根，与农历12个月数完全吻合。

在表1-4中，我们知道实测二十四节气的晷影之间的差不是等分的，差值最大的时间在雨水节前后的节气，而且冬至晷影弦长与其他各节气实测晷影弦长的比值，除冬至弦/小寒弦、冬至弦/大寒弦、冬至弦/立春弦、冬至弦/夏至弦外，其他比值出入较大。如果以冬至弦长为基数，按十二律三分损益法生成其他各弦的长度，将这些弦长与二至晷差十二等分后生成的晷影相应的弦长相比较，我们发现它们非常接近。

由此可以得出结论，三分损益法是在实测二至节气的晷影相应的弦长的基础上，使各节气的晷影长度差成等差数列，并由此生成相应的弦长，再将冬至晷影弦长与代表其他各月晷影弦长的比率进行归纳，最后得到理论数率。

《隋书·律历志上》（卷十六）开篇说：“自夫有天地焉，有人物焉，树司牧以君临，悬政教而成务，莫不拟乾坤之大象，禀中和以建极，揆影响之幽迹，成律吕之精微。”揆影响就是立竿测影，确定音律的意思。清朝编纂的《御制律吕正义后编·乐制考》（卷八十一）说：“天效以景，地效以响，即律也。”《晋书·律历志》（卷十六）引京房语说：“竹声不可以度调，故作准以定数。准之状如瑟而长丈，十三弦。隐间九尺以应黄钟之律九寸。”这段文字向我们透露了晷影观测与十二律的关系。用以确定十二律的、形状像瑟一样的“准”的13弦就是由二至晷影差等分12份后生成的相应的13根弦。

朱载堉《乐律全书·律吕精义内篇》（卷五）讲得更为透彻：

盖候气之法不见于经，而见于纬，信都芳轮扇事尤为虚延。……（应是）以律验气，非以气验律也。何谓以律验气？吾既得黄钟真数之管矣，以之候气而尚有不应者，盖系其岁气候和否，如耳，则是先得真律，吾恃夫律用以验气也。

朱氏认为，古人是根据常年的晷影的长短确定管律之真数，然后再以这样的管律去校验其他年份的晷影或候气正常否。这样，不同年景二至晷影、候气形成的管律与常年二至晷影下制定的标准管律就有和与不和之分。常则和，否则不和。这就是《史记·律书》所说的“同声相从，物之自然”的道理。可以说，这是一种准科学的年景预测技术，是古代管律与候气的真正内在联系。

通过以上分析，我们可以得出这样的结论，三分损益法和“三寸九分”之说采用不同的形式表达了同一天文学含义，即太阳在二至间的运行角度及其包含的黄赤交角。从音律学的角度，理想的十二律损益率应该将一个八度音平均分为十二个半音，到明朝万历年间朱载堉用数学方法推出了十二律的平均损益率，即＝1.059。由于古老的三分损益法发源于古代对黄赤夹角和一年四季立竿测影的数据，又利用十二律去验证候气，所以虽然由此生成的损益率与平均损益率有一定差距（十二律的平均损益律约为1.06082），但却一直被视为亘古不变的法则，这充分说明了中国古代敬天文化的统领作用。由于十二律在中国礼文化中的崇高地位，它对包括建筑空间在内的器物文化产生了广泛影响。

今天我们利用公式：φ＝90°±θ-β，（注：φ＝日照角度；θ＝黄赤交角；β＝纬度），可以很方便地算出北回归线以北北纬任何纬度二至的日照角度，这任意一地点二分时的日照角度为其所在纬度的余角，由此推出二至二分日去地高度角。表1-5列出了北纬30°、35°、40°、45°的二至二分的日去地高度角、晷影等相关值，其中黄赤交角值取24天度，即23.98°，圭表长8尺。利用表1-5中的数据，我们可以进一步推算出这些纬度的二至晷影长的差十二等分后相应的弦长，以及冬至晷影所对应的弦与其他各晷影对应的弦长的比。可以看出，北纬35°的一组数值与十二律最接近，所以我们可以断定十二律是根据北纬35°左右、黄赤交角约为24天度时的晷影测量数据总结而成的。如果按照黄赤交角每170年增减1′，则从今天的黄赤交角23°26′回到24天度即23°59′的天文时代，时间跨度为5500多年。