4.1 模糊逼近

4.1.1 模糊系统的设计

设二维模糊系统g（x）为集合U=[α1，β1]×[α2，β2]⊆R2上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一个x∈U，都能得到g（x），则可设计一个逼近g（x）的模糊系统。模糊系统的设计如下。

（1）在[αi，βi]上定义Ni（i=1，2）个标准的、一致的和完备的模糊集，，…，。

（2）组建M=N1×N2条模糊集IF-THEN规则

：如果x1为且x2为，则y为

其中，i1=1，2，…，N1，i2=1，2，…，N2，将模糊集的中心（用表示）选择为

（3）采用乘机推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，根据M=N1×N2条规则来构造模糊系统f（x）

4.1.2 模糊系统的逼近精度

根据万能逼近定理，令f（x）为式（4.2）中的二维模糊系统，g（x）为式（4.1）中的未知函数，如果g（x）在U=[α1，β1]×[α1，β2]上是连续可微的，则

模糊系统的逼近精度为

式中，无穷维范数‖*‖∞定义为。

由式（4.4）可知：假设xi的模糊集的个数为Ni，其变化范围的长度为Li，则模糊系统的逼近精度满足，即。

由该定理可得到以下结论。

（1）形如式（4.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意给定的ε＞0，都可将h1和h2选得足够小，使成立，从而保证。

（2）通过对每个xi定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。

（3）为了设计一个具有预定精度的模糊系统，必须知道g（x）关于x1和x2的导数边界，即和。同时，在设计过程中，还必须知道g（x）在，（i1=1，2，…，N1，i2=1，2，…，N2）处的值。

4.1.3 仿真实例

实例1　针对一维函数g（x），设计一个模糊系统f（x），使之一致地逼近定义在U=[-3，3]上的连续函数g（x）=sin（x），所需精度为ε=0.2，即。

由于，由式（4.3）可知，，故取h≤0.2满足精度要求。取h=0.2，则模糊集的个数为。在U=[-3，3]上定义31个具有三角形隶属函数的模糊集Aj，如图4.1所示。所设计的模糊系统如下

一维函数逼近仿真程序见chap4_1.m。逼近效果如图4.2和图4.3所示。

一维函数逼近仿真程序：chap4_1.m

实例2　针对二维函数g（x），设计一个模糊系统f（x），使之一致地逼近定义在U=[-1，1]×[-1，1]上的连续函数g（x）=0.52＋0.1x1＋0.28x2-0.06x1x2，所需精度为ε=0.1。

由于，，由式（4.3）可知，取h1=0.2，h2=0.2时，有‖g-f‖≤0.16×0.2＋0.34×0.2=0.1，满足精度要求。由于L=2，此时模糊集的个数为，即x1和x2分别在U=[-1，1]上定义11个具有三角形隶属函数的模糊集Aj。

所设计的模糊系统为

该模糊系统由11×11=121条规则来逼近函数g（x）。

二维函数逼近仿真程序见chap4_2.m。x1和x2的隶属函数及g（x）的逼近效果如图4.4至图4.7所示。

二维函数逼近仿真程序：chap4_2.m