5.3 倒立摆系统的T-S模糊模型

倒立摆系统的控制问题一直是控制研究中的一个典型问题。控制的目标是通过给小车底座施加一个力u（控制量），使小车停留在预定的位置，并使摆不倒下，即不超过一预先定义好的垂直偏离角度范围。

单级倒立摆模型为

其中，x1为摆的角度，x2为摆的角速度，2l为摆长，u为加在小车上的控制输入，，M和m分别为小车和摆的质量，x=[x1　x2]T。

控制目标为通过设计控制律u，实现x1→0，x2→0。

取g=9.8m/s2，摆的质量m=2.0kg，小车质量M=8.0kg，2l=1.0m。

分别考虑摆角为小角度和大角度两种情况。首先考虑摆角小角度运动，根据倒立摆模型可知，当x1→0时，sinx1→x1，cosx1→1；时，，由此可得以下两条T-S型模糊规则

Rule1：If x1（t）is about 0，THEN （t）=A1x（t）＋B1u（t）

Rule2：If x1（t）is about ± ，THEN

其中，，，，B2=，β=cos（88°）。

然后考虑摆角大角度运动，根据倒立摆模型可知，时，sinx1→±1→，由于β=cos（88°），则cos（x1）=cos（180°-88°）=-cos（88°）=-β；当x1→π时，sinx1→0，cosx1→-1，则近似有。由此可得以下另外两条T-S型模糊规则

Rule3：If x1（t）is about ± ，THEN

Rule4：If x1（t）is about ± π，THEN

其中，，，，。

根据倒立摆的运动情况，设计4条模糊控制规则

Rule1：If x1（t）is about 0 then u=K1x（t）

Rule2：If x1（t）is about ± then u=K2x（t）

Rule3：If x1（t）is about ± then u=K3x（t）

Rule4：If x1（t）is about ± π thenu=K4x（t）

如图5.5所示，为具有4条规则的隶属函数示意图，隶属函数有交集的规则分别是Rule1、Rule2、Rule3和Rule4。