第十七章　勾股定理

第一节　勾股定理

学习目标

1. 理解和掌握勾股定理及变形.

2. 了解勾股定理的推理、证明过程，体会数形结合思想的应用.

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，会运用方程思想解决问题.

知识精讲

1. 勾股定理.

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图17-1-1所示，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2+AC2=AB2, 即（a2+b2=c2）.

注：① 如图17-1-2所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦.

② 勾股定理的变形：a2=c2-b2, b2=c2-a2，.

③ 勾股定理只适用于直角三角形：已知直角三角形两边求第三边；在直角三角形中已知一边，求另外两边的关系.

④ 利用勾股定理解题首先要确定是直角三角形；其次要分清直角边和斜边；若没有说明，则需要进行分类讨论.

2. 勾股定理的证明.

勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算、代数式的变形、几何证明，也可以用面积（拼图）证明——对图形进行割、补、拼、接后，利用图形面积不变来进行推导，这也是最常见的一种方法，验证如下.

方法1：赵爽的“勾股圆方图”（又称为赵爽“弦图”）.

以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图17-1-3所示的四边形，则四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2；四边形EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于（b-a）2.

∴4×+（b-a）2=c2. ∴a2+b2=c2.

方法2：邹元治的证明方法.

以a、b为直角边，以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图17-1-4所示的四边形，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 则四边形EFGH是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2；四边形ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于（a+b）2.

∴（a+b）2=4×+c2. ∴a2+b2=c2.

方法3: 1876年美国总统伽菲尔德（Garfield）的证明方法.

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图17-1-5所示的四边形，使A、E、B三点在一条直线上. △DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于；四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等于（a+b）2.

∴（a+b）2=2×+. ∴a2+b2=c2.

方法提炼

1. 勾股定理的应用.

（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边.

（2）证明三角形中的某些线段的平方关系.

（3）作长度是无理数的线段.

注：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定第三边是直角边还是斜边. 若不能确定，则要进行分类讨论.

2. 直角三角形斜边上的高的求法：如图17-1-6所示，ab=ch⇒h=.

3. 本节涉及的常用数学思想与方法.

（1）方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题，进而将几何问题代数化.

（2）分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论.

（3）数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想.

典例精析

例题1. 若直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是20，求此直角三角形斜边上的高.

【思路点拨】 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值，最后利用面积求斜边上的高.

【解】 设此直角三角形两直角边分别是3x、4x，斜边上的高为h，根据题意得：

（3x）2+（4x）2=202. 解得x2=16.

∵·3x·4x=·20h. ∴×12×16=·20h. ∴h=9.6.

∴直角三角形斜边上的高为9.6.

注：与直角三角形的边有关的计算中，通常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.

例题2. 如图17-1-7所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m. 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，已知拖拉机的速度为18km/h，

（1）那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由.

（2）如果受影响，求学校受影响的时间.

【思路点拨】 （1）要判断拖拉机的噪声是否影响A处的学校，实质上是看点A到公路MN的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.

（2）要求出学校受影响的时间，实质是求拖拉机对影响A处的学校时所行驶的路程. 因此必须找到拖拉机行驶至哪一点开始影响学校，行驶至哪一点后结束影响学校.

【解】 （1）作AB⊥MN，垂足为B.

在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°，AP=160m，∴ AB==80m.

∵80<100, ∴这所中学会受到噪声的影响.

（2）如图17-1-8所示，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，则AC=100m.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：.

同理，拖拉机行驶到点D处结束对学校的影响，则AD=100m，BD=60m, ∴CD=120m.

拖拉机行驶的速度为18km/h=5m/s，∴t=120÷5=24（s）.

答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24s.

注：勾股定理是求线段长度的重要方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助线，构造直角三角形，进而利用勾股定理解题.

典题精练

1. 如图17-1-9所示，在正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是（　）.

2. 若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（　）.

3. 已知直角三角形的一个锐角为60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（　）.

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=5，b=12，则c=____；（2）若a=15，c=25，则b=____；

（3）若c=61，b=60，则a=____；（4）若a:b=3:4，c=10，则SRt△ABC=____.

5. （1）已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为____.

（2）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为____.

6. 如图17-1-10所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3.

（1）求DE的长.

（2）求△ADB的面积.

7. 直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积.

8. 如图17-1-11所示，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB, 且AD=3，过B作BE⊥AB, 且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC=x.

（1）DC+EC的长为____（用含x的式子表示，不必化简）.

（2）当点C的位置满足____时，DC+EC的和最小，并求出最小值.

9. 如图17-1-12所示，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，求△ABC的周长.

10. 根据题意，解答问题：

（1）如图17-1-13（a）所示，已知直线l与y轴、x轴分别交于点A、B，且点A坐标为（0, 4），点B坐标为（-2, 0），求线段AB的长.

（2）如图17-1-13（b）所示，类比（1）的解题过程，请你用构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（-2, -1）之间的距离.

中考真题链接

真题1. （广东珠海）如图17-1-14所示，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，……，则OA4的长度为____.

真题2. （四川德阳）如图17-1-15所示，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　）.