任务二　静水压强的基本规律

一、静水压强基本方程

任务一讨论了静止液体中某一点的压强特性，那么静止液体中各点的压强大小与什么有关？变化规律如何？下面我们以绝对静止状态的液体（质量力仅有重力）为研究对象，通过力学分析的方法做进一步探讨。

首先来研究静止液体中任意两点的压强关系。如图2－4所示，在质量力仅有重力的静止液体中选同一铅垂线上的任意1、2两点，两点高差为Δh，对应的水深分别为h1和h2。以1点、2点为圆心，分别取水平微小面积ΔA，则再取ΔA为底面积、Δh为高的铅直小液柱作为脱离体。

因脱离体为铅直状态，故其侧面水压力为水平平衡力（水平方向上合力为零），与垂直压强p1、p2无关，故只分析垂直力。由受力分析可知，脱离体铅垂方向上共受到三个力：

（1）小液柱的自重（即重力）：G＝γΔhΔA，方向铅直向下。

（2）小液柱上表面所受静水总压力：因ΔA很小，可认为该面积上各点的压强相等，所以静水总压力为p1ΔA，方向铅直向下。

（3）小液柱底面所受静水总压力：p2ΔA，方向铅直向上。

则铅直方向的静水平衡方程为

方程两边同除以ΔA并整理得

式（2－6）即为静水压强基本方程，它适用于所有牛顿流体。为方便理解和记忆，可将式（2－6）改写为

式（2－7）表明，在质量力仅有重力的静止液体中，深处的压强比浅处大，下面一点的压强等于上面一点的压强加上两点之间液体产生的水重压强。需要注意的是，如果上下两点之间存在不同种类的液体，计算两点的压强差时，将两点间各液层厚度与其相应液体容重的乘积相加。

由式（2－7）还可看出，淹没深度相等的各点静水压强相等，故水平面即是等压面，但必须注意，这一结论只适用于质量力仅有重力的同类且连通的流体。

下面再来研究液面任一点压强的大小。取脱离体如图2－4（b）所示，上点位于液面，若液面压强以p0表示，则p0＝p1，下点为液面下任意一点压强p＝p2，Δh＝h，则式（2－7）可写成

式（2－8）是常用的测算密闭容器中点压强的静水压强基本方程，它表明，在质量力仅有重力的静止液体中，液面下任意一点的压强由两部分组成，一部分是从液面传来的表面压强，另一部分是水深为h的液体产生的压强。

由式（2－8）可知，表面压强可以不变大小地传递到液体中的各个部分。当表面压强增大或减小时，液体中各部分的压强也随之增大或减小，这就是帕斯卡原理。静止液体的这一压强传递特性是制作油压千斤顶、水压机等多种机械的原理。

在水利工程中，大多数水工建筑物是开敞式的（表面压强为大气压），建筑物各部分所受大气压力相互抵消，为简化计算，通常不考虑作用于水面的大气压强，只计算液体产生的压强数值，则此时静水压强可用式（2－8）计算：

上面各式中，任一点的位置是用水深h来表示的，工程中也常用位置高度来表示某点的位置。如：取某一水平面0—0作为基准面，任一点距基准面的铅垂距离即为该点的位置高度，用z来表示。由图2－4（a）可知，任意1、2两点的位置高差就等于其水深之差，即z1－z2＝Δh，则式（2－6）可写为p2－p1＝γ（z1－z2），整理得

式（2－10）是静水压强基本方程的另一种表达式，它表明：

（1）在质量力仅有重力的静止液体中，位置高度z愈大，压强就愈小；位置高度z愈小，压强就愈大。

（2）在均质（常数）、连通、质量力仅有重力的静止液体中，同一水平面（z＝C）必为等压面（p＝C），这就是通常所说的连通器原理。

应用连通器时应注意，并不是任意一水平面都是等压面，如果液体中间被气体或另一种液体隔离，或并不是同一种液体，则同一水平面上各点压强并不相等。例如在图2－5中，1－2、4－5－6是等压面，而2－3虽然在同一水平面上，但因2、3点处的液体不同，所以不是等压面。

注意：静水压强基本方程适用于各种牛顿流体，计算时应注意采用相应流体的容重。几种常见流体的容重见表2－1。

【例2－1】　求水库中水深5m、10m处的静水压强。

【解】　因水库表面压强为大气压，水的容重γ＝9．8kN／m3，则

水深为5m处：p＝γh＝9．8×5＝49（kPa）。

水深为10m处：p＝γh＝9．8×10＝98（kPa）。

【例2－2】　求液面为大气压的蒸馏水和水银中深度为1m处的静水压强各为多少？

【解】　由表2－1可知，清水和水银的容重分别为9．8kN／m3和133．3kN／m3，则

蒸馏水中深度为1m处的静水压强：p＝γh＝9．8×1＝9．8（kPa）。

水银中深度为1m处的静水压强为：p＝γ水银h＝133．3×1＝133．3（kPa）。

二、静水压强基本方程式的意义

（一）静水压强基本方程式的几何意义

所谓几何意义，就是用几何上的高度概念来诠释静水压强方程式。为了能直观反映静水压强方程式的几何高度概念，在图2－6所示盛有某种液体的容器中任选1、2两点，在其相应高度位置的边壁上开两个小孔，孔口处各连接一垂直向上的开口玻璃管（通常称为测压管）。

经观察发现，两测压管中均有液柱上升，且两管中液面齐平。测压管液柱上升高度称为测压管高度，以h测表示，根据式（2－9）和连通器原理有

由上可知，压强与容重之比可用几何高度（测压管高度）来表示。测压管高度与测点处压强的大小及管中液体的容重有关，对同一种液体，测压管高度与压强成正比。

水力学中常把高度称作“水头”，如：位置高度z称为位置水头，测压管高度h测称为压强水头，z＋h测则称为测压管水头，用H测表示。

由式（2－10）可知，图2－6中1、2两点的测压管水头应相等，即两管中液面应齐平。所以，式（2－10）的几何意义可表述为：质量力仅有重力的静止液体中，任意一点对同一基准面的测压管水头都相等（为一常数），或者说各测压管中液面位于同一水平面上，即

常数C值的大小随基准面位置而改变，基准面选定，C值即可确定。

（二）静水压强基本方程式的物理意义

由物理学可知：质量力m、位置高度z的物体，其位置势能（简称位能）为mgz，它反映了重力对物体做功的本领。对于液体，因其内部存在压力，且压力也有做功的本领，因此液体还具有压力势能。例如，在图2－6中，1点处质量力为m的液体在压力作用下上升至测压管液面，压力势能转化为位置势能，因其上升高度为说明压力对液体所做功的大小为这说明质量力为m、压强为p的液体，其压力势能为所以，处于静止状态、质量力为m的液体，其总势能为。

为方便研究计算，水力学中常取单位重量液体作为研究对象，单位重量液体所具有的势能称为单位势能。因为所以z称为单位位能，称为单位压能，称为单位总势能，简称单位势能，用E势表示。

根据以上定义，静水压强基本方程式的物理意义为：质量力仅有重力的静止液体中任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即