3.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算

3.5.1 圆轴的扭转失效

通过扭转试验发现，不同材料的圆轴在扭转破坏时，断口的形状也不一样。塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先屈服，在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，此时横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截面处发生剪断，如图3.16(a)所示，这时破坏截面上的最大切应力称为扭转强度极限。而当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服阶段，最后发生约45°的螺旋面的断裂破坏，如图3.16(b)所示。扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力，用τu表示。

3.5.2 强度条件和强度计算

从扭转试验得到了扭转的极限应力，再考虑一定的安全裕度，即将扭转极限应力除以一个安全系数，就得到扭转的许用切应力为

这个许用切应力是扭转的设计应力，即圆轴内的最大切应力不能超过许用切应力。

对于等截面圆轴，各个截面的抗扭截面系数相等，所以圆轴的最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上，强度条件为

而对于变截面圆轴，则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数，所以强度条件是

【例3.3】 驾驶盘的直径φ=520mm，加在盘上的平行力P=300N，盘下面的竖轴的材料许用切应力［τ］=60MPa。

(1)当竖轴为实心轴时，设计轴的直径。

(2)采用空心轴，且α=0.8，设计内外直径。

(3)比较实心轴和空心轴的重量比。

解：先计算外力偶和内力。作用在驾驶盘上的外力偶与竖轴内的扭矩相等，计算如下：

(1)设计实心竖轴的直径。

(2)设计空心竖轴的直径。

(3)实心轴与空心轴的重量之比等于横截面面积之比。

在强度相等的条件下，α=0.8时该实心轴的重量约是空心轴的2倍。所以在工程上，经常使用空心圆轴。

3.5.3 刚度条件和刚度计算

在纯扭转的等截面圆轴中，从式 （3.14）可以得到dφ=dx，它表示圆轴中相距dx的两个横截面之间的相对转角，所以长为l的两个端截面之间的扭转角可以通过对相对转角积分得到：

因为在纯扭转中，扭矩T和扭转刚度GIp是常量，所以式（3.26）可以简化成

如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式(3.26)的积分可以写成分段求和的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是

在应用上式计算扭转角时要注意扭矩的符号。

在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，这样才能满足工程机械的精度等工程要求。所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度，它不能超过规定的许用值，即要满足扭转变形的刚度条件。

对于扭矩是常量的等截面圆轴，扭曲率最大值一定发生在扭矩最大的截面处，所以，刚度条件可以写成

式(3.29)中，扭曲率的单位是rad/m。如果使用工程中常用的°/m单位，则式(3.29)可以写成

对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是

或者写成

【例3.4】 机器的传动轴如图3.17（a）所示，传动轴的转速n=300r/min，主动轮输入功率P1=367kW，三个从动轮的输出功率分别是：P2=P3=110kW，P4=147kW。已知［τ］=40MPa，［θ］=0.3°/m，G=80GPa，试设计轴的直径。

解：（1）求外力偶矩。根据轴的转速和输入与输出功率计算外力偶矩：

（2）画扭矩图。用截面法求传动轴的内力并画出扭矩图［图3.17（b）］。

从扭矩图中可以得到传动轴内的最大的扭矩值为

(3)由扭转的强度条件来决定轴的直径。

(4)由扭转的刚度条件来决定轴的直径。

(5)要同时满足强度和刚度条件，应选择(3)和(4)中较大直径者，即