2.2 预备知识

2.2.1 稳定性定义

定义2.1^[132,133]：若系统在某平衡点李雅普诺夫稳定，且在时间t趋于无穷大时收敛到该平衡状态，且此过程中不脱离该区域，则称系统在该平衡点渐近稳定。若对任意条件，此性质皆成立，则称系统在该平衡点全局渐近稳定。

定义2.2^[140-142]：考虑系统^.z=f（t，z），其中z∈Rⁿ是系统状态，函数f：U→Rⁿ关于t分段连续，U⊂Rⁿ是包含原点z=0的一个域，并且原点为该系统平衡点，即f（t，0）=0，∀t≥0。若该系统渐近稳定，且存在常数Γ，满足∀t≥t₀，都有，则称该系统在平衡点z=0指数稳定，且具有常衰减度α。在其基础上，若Ω=U=Rⁿ，则系统为全局指数稳定。

定义2.3^[91]：考虑如下系统

其中，U为包括x=0的一个开邻域，f（x）为一连续的向量场，f（0）=0，若式（2-3）在平衡点x=0处满足李雅普诺夫稳定性，且对于任意的初值x（0）∈U，存在T（x），使式（2-3）的解x（x（0），t）在[0，T]有定义且满足，且满足对∀t≥T（x），均有x（x（0），t）=0，则式（2-3）为有限时间稳定的，若U=Rⁿ，则式（2-3）是全局有限时间稳定的，若对于任意的初值x（0）∈U，T（x）皆有界，则式（2-3）为固定时间稳定的，若U=Rⁿ，则式（2-3）是全局固定时间稳定的。

定义2.4^[92]：考虑非线性动态系统式（2-3），假定x=0是其平衡点，如果存在连续可微的函数V（x），满足下列条件：

（1）V（x）正定，径向无界；

（2），∀x∈U₁\{0}，U₁为包括原点的开邻域，l＞0且0＜α＜1；那么x=0是该系统局部有限时间稳定的平衡点，且稳定时间T满足下式

定义2.5^[93]：设f（x）=[f₁（x），…，f_m（x）]^T为一向量函数，若对∀ε＞0，∃（r₁，…，r_n）^T∈Rⁿ，使得成立，其中r_i＞0，i=1，2，…，n；k≥-max（r_i），i=1，2，…，n，则称f（x）关于（r₁，…，r_n）有齐次度k。

定义2.6^[93]：称标量函数V（x）：Rⁿ→R，关于（r₁，…，r_n），r_i＞0，i=1，2，…，n，具有齐次度σ，若对∀ε＞0，∀x∈Rⁿ，有成立。

定义2.7^[88]：考虑如下非线性系统

其中，x=[x₁，x₂，…，x_n]^T∈Rⁿ为状态向量，f（x）：Rⁿ→Rⁿ为非线性函数。如果f（x）相对（r₀，k₀，f₀）具有零极限齐次性，相对（r_∞，k_∞，f_∞）具有无穷极限齐次性，此外，如果系统及近似系统和是全局渐近稳定的，那么

（1）当k_∞＞0＞k₀满足时，系统的原点是固定时间稳定平衡点；

（2）当和为正实数时，那么且（1≤i≤n）。存在连续正定函数V：R_n→R₊，使得函数相对及具有无穷极限齐次性，且函数是负定的，满足

其中，k_v为正实数，函数定义为，a，b∈R₊。

2.2.2 稳定性证明相关引理

引理2.1^[88]：（有限时间稳定）考虑如下非线性系统

其中，f（x）是一个连续向量函数，且对于扩张（r₁，…，r^m）的齐次度为对于任意t满足。如果x=0是系统的渐近平衡点，且对于任意t存在，i=1，…，m，那么x=0是式（2-7）的一个局部有限时间平衡点。此外，如果式（2-7）既是全局渐近稳定又是局部有限时间稳定，那么该系统是全局有限时间稳定。

引理2.2^[89]：（Young's不等式）针对任意实数∀x，y∈R，下述不等式成立

其中，a＞0，p＞1，q＞1，且（p-1）（q-1）=1。

引理2.3^[90]：假设存在一个正常数k_a∈R，如果x∈R且|x|＜|k_a|，则下面不等式成立

引理2.4^[92]：考虑如下一阶系统

若c是正实数，且α∈（0，1）时，那么该系统是全局有限时间稳定的。针对任意初始值x（t₀），该有限稳定时间t_s满足t_s≤|x（t₀）^1-α[c（1-α）]。始值x（t₀），该有限稳定时间t_s满足t_s≤|x（t₀）|^1-α[c（1-α）]。

引理2.5^[94]：考虑下面一个标称系统

其中，α＞0，β＞0，m、n、p、q为正奇数，且满足m＞n，p＜q。那么式（2-9）将在固定时间内收敛到x=0且一直保持下去，稳定时间T具有确定上界

此外，如果ε=[q（m-n）/n（q-p）≤1]，可得到一个保守性较小的收敛时间上界

引理2.6^[95]：存在ε₁，ε₂，…，ε_m≥0，那么

引理2.7^[94,96]：针对系统沿着轨迹x，如果存在正则，正定和径向无界的函数V（x）：Rⁿ→R₊∪{0}，且

（1）V（x）=0⇔x=0；

（2），其中α＞0，β＞0，0＜p＜1，q＞1，那么，当ϑ=0时，系统是全局固定时间稳定，并且稳定时间T满足

当ϑ∈（0，∞）时，系统是实际固定时间稳定的，系统的解满足

其中，θ为一个标量满足0＜θ＜1。系统收敛到稳定域的时间满足

引理2.8^[151]：设z：[0，∞）→R为连续一阶可导，且当t→∞时有极限，若在t∈[0，∞）上一致连续，则。

引理2.9^[241]：对于一个二阶非线性系统

一定存在一个正的C¹函数C（θ₁），满足，其中为虚拟输入。

2.2.3 障碍李雅普诺夫函数

定义2.8^[234]：考虑系统，其中z∈Rⁿ是系统状态，函数f：U→Rⁿ关于t分段连续。D为包含原点的开区间，V（z）为定义在D上的关于该系统的正定标量函数。V（z）可称为该系统的障碍李雅普诺夫函数，若其具有以下特性：

（1）在D上的每个点一阶偏导数存在；

（2）当z趋向于D边界时，V（z）→∞；

（3）当z（t₀）∈D时，∀t＞0，V（z）≤b，b为正常数。

BLF的特点为当状态趋向于约束边界时，所设计李雅普诺夫函数的值会趋于无穷大。因此，可通过李雅普诺夫函数的有界性保证系统状态不违反约束条件。为使用障碍李雅普诺夫函数（BLF）解决偏航约束问题，本章引入相关理论。

引理2.10^[235]：对状态z与正实数a，函数与为状态z的障碍李雅普诺夫函数。

引理2.11^[235]：对状态z与任意实数a，函数为状态z的障碍李雅普诺夫函数，且满足。

2.2.4 RBF神经网络

RBF^[236-240]神经网络由隐含层和输出层构成，隐含层实现神经网络输入的非线性映射，即隐含层将输入空间映射到一个新的空间，输出层则将隐含层的输出进行线性组合。因此，RBF神经网络可以表示成线性参数化形式

其中，χ=[χ₁，χ₂，…，χ_m]^T∈Ω_χ⊂R^m是神经网络的输入向量；W=[w₁，w₂，…，w_l]^T∈R^l是神经网络的权值向量，l＞1是神经网络的节点数；ϕ_j（χ）∈R（j=1，2，…，l）称为基函数，ϕ（χ）=[ϕ₁（χ），ϕ₂（χ），…，ϕ_l（χ）]^T∈R^l是基函数向量，通常选取ϕ_j（χ）为高斯函数

其中，κ_j=[κ_j1，κ_j2，…，κ_jm]^T∈R^m和h_j∈R分别是高斯函数的中心和宽度。

一般而言，如果节点数l选取的足够大，RBF神经网络W^Tϕ（χ）能够在有界闭集Ω_χ∈R^m上以任意精度逼近连续函数f（χ）∈R，其数学表达式为

其中，W∈R^l是神经网络的理想权值向量，根据下式选取

在有界闭集Ω_χ⊂R^m上，权值向量W是有界的，且激励函数ϕ（χ）也有界，即

其中，W_m，ϕ^*为正常数。