3 如何对只有本人才知道的信息进行推断？

通过飞机的引擎声辨别机种

章鱼哥以仅仅3.7%的惊人概率猜中了球赛的比赛结果，当我们听到这则新闻的时候，可能没有人会认为“章鱼是通过可靠信息才猜中的”。但是，如果猜中比赛结果的是人呢？比如，某位绅士说“把我的眼睛蒙上，仅凭引擎声，我就能辨别飞机的机种”，然后开始听声音辨机种。飞机的引擎声里可能有某种一般人无法辨识的差异，所以当这个人连续猜中机种之后，我们就会说：“这个人的确有本事，他没有唬人。”

不仅是猜飞机，铁路迷们估计也能通过听火车声音分辨出不同车型的火车。

红茶先还是牛奶先？猜猜看!

接下来，我要给大家讲一个例子。

这是一个统计学里非常有名的故事，被称为“红茶夫人”。

英国有一位贵妇说：“奶茶的调制顺序对风味有很大的影响，把红茶加进牛奶里与把牛奶加进红茶里，喝起来口味会完全不同。我能品出一杯奶茶是先倒的红茶还是先倒的牛奶。”此言一出，身边的绅士小姐们便开始议论纷纷。

绝大部分人都觉得这滑稽可笑：“这两种混合方式的化学成分有什么差异吗？红茶加入牛奶里和牛奶加入红茶里味道会有什么不同吗？真是莫名其妙，开玩笑的吧！”

其中有一位绅士表现出了兴趣，他提议说：“这可真是一个有趣的话题啊，我们不妨来试一试。”他认真地设计了实验步骤，包括要准备多少杯红茶、按照什么顺序给这位贵妇喝等。这位绅士就是统计学的鼻祖罗纳德·费希尔。

贵妇所说的究竟是真是假？她是确有这本事还是在开玩笑？这里就涉及“旁观者如何根据观察进行判断”的问题（本书采用与费希尔不同的思考方式）。

启示就来自章鱼哥拉比奥。

旁观者如何进行判断?

：这个故事有趣吧。大和，你怎么看？

：学姐你先告诉我，思考这个红茶故事有什么用处？

：有什么用处？你可真是性急啊！它可以运用到诸如设计安保系统或者AI声控等复杂的工程上。但是，如果不懂其中的原理的话，就什么用处都没有了。究竟有什么用，我们待会儿再说，先回到红茶的话题上。

如果只用一杯红茶来做实验，那么贵妇不管是说真话还是撒谎，都只是一个二选一的问题，也就是说，回答正确的概率是1/2（50%）。想必“红茶夫人”也不会为了赌这1/2的概率接受挑战。

那么，连着做两次实验呢？她回答正确的概率就变成1/2×1/2=1/4，即25%了。就算这样，也有可能在4次里有1次碰巧猜中，这还远不能说服那些确信“这不可能是真的”的绅士小姐们。

那就连猜3次好了，猜中的概率变成1/2×1/2×1/2=1/8，即12.5%。3次嫌少就继续猜第4次吧，概率变为1/6，即6.25%；连续5次猜中的概率为1/32， 即3.125%。6次、7次、8次呢？

究竟要做多少次实验、连续猜中多少次才能让人们相信她是真的有这个本事”呢？有没有一个好的判定方法能为这无休无止的实验做一个了断呢？

非数学证明？

：如果是我的话，连续3次或4次猜中是先倒的红茶还是先倒的牛奶，我就会折服了：“哇，调制顺序不一样，真的味道就不一样哎，贵妇没有撒谎！”那么，实际上究竟连续猜中多少次才能得到人们的认可，这需要通过数学方式来证明。

：哈哈！你在说什么呀？数学证明？那是不可能的。就算用最新的传感器测试出了奶茶味道的不同，这里面仍然有一个问题，那就是，“贵妇是真的通过尝出了味道的异同做出的判断，还是随便说说的”，对此我们该如何辨别？

最终，“是真的还是假的”，只有贵妇自己才知道，第三者是不可能“证明”什么的！ 我想说的是，要找一个能从外部进行判别的方法。

：啊？这个我们怎么可能通过外观来分辨呢？只有贵妇本人才知道吧。

有没有一个被多数人“认可的界限”？

的确，正如大和所说，只有本人才知道的真伪，要让我们这些旁观者来进行正确与否的判断，实在是太难了。或者说，这是不可能的。就算用上测谎仪，也不一定能百分之百判断正确。

那可如何是好？

：我们可以用“画线思维”。我再给你们一点提示，我们可以用“概率”来思考。“红茶夫人”的故事，你们会不会觉得像是在做一个猜谜游戏？而这也正是现代统计学初始阶段的重要主题。

我们在前文中说过，统计学大致分为“描述统计学”和推断统计学”，现代统计学以推断统计学为中心。推断统计学以总体中的部分（样本）为基础，用随机抽样的数量特征信息来推断总体的数量特征，从而做出具有一定可靠性保证的估计或检验。

这个话题我们到后文中再说，总之，还是先来听听两个人的对话吧。

：现代统计学初始阶段的重要主题？这么难的问题啊？我觉得对我来说就是猜谜。学姐，给点提示吧。

：好吧。首先要认识到根本就没有百分之百猜对的情况。那我们是不是可以退而求其次，找一个让大多数人都能接受的妥协点，也就是考虑一个能预计出的结论。

：妥协点？这的确跟数学没啥关系了哈。

：就是大多数人都能接受的点。比如，如此小概率发生的事情，那就绝对不是“偶然事件”或“碰巧”了，必须得相信！也就是大多数人都能接受的一个程度，我们来定一下这个度吧。

：这个是人为决定的吗？这么勉强，好意外哦。

：如果连续20次都猜对了，那概率就是百万分之一了，这可是一个天文数字哦！这种情况，你还能说是偶然吗？

：一百万次才有一次正确？这样的话谁都不会否认“红茶夫人有真本事”了。百万分之一，这概率也太低了，想要猜中一次的确是太难了。

：百万分之一的概率，大和你应该承认“红茶夫人”的本事了吧？那么，如果是万分之一的概率呢？你还会这么想吗？

：是的，万分之一的概率，我也信。其他人也会这么想吧。

：那么，1%的概率呢？也信？好吧，那多大的概率你才会认为不是偶然、不是碰巧，而是凭本事的判断呢？

：这个嘛， 10%？也就是10次里有1次猜对，呃，这好像要求有点儿太低了哈。那就5%吧，当出现20次里才有1次猜对的情况时，我会认为“偶然”的可能性很低。

“5%=20次里有1次猜对”的概率，就好像让20人抽阿弥陀签（日本常见的抽签游戏），给其中唯一抽到签的那个人发奖金，或者让他在宴会上表演一样，概率很低。下面就是一幅阿弥陀签图，相邻的平行线间任意各画两条横线。

详细说明就此省去，不过，当阿弥陀签的横签只有一根或者两根的时候（这种情况很常见），如果事先知道一头一尾数字对应的那根签中签的概率比较高的话，也许在实际抽签时能有一定帮助哦。

是不是偶然，取决于这5%？

：5%吗？从常识上来讲是这样的，统计学里也的确有一条5%的误差线。所以，如果发生5%以内非常小概率的事情，我们就不认为这是偶然和碰巧了。相反，发生大于5%概率的事件，我们就会考虑这是偶然。

：哦哦，我明白了！4连中（1/16）的话，概率是6.15%，高于5%；5连中（1/32）的话，概率是3.125%，低于5%。这的确是非常严格的界定啊！如果在破5%之前出现了错误，“红茶夫人”可能会为自己找个借口吧。www：她可能会说：“哈哈，开个玩笑罢了。英国绅士们都不知道这是在开玩笑吗？”

与5%误差线相对应，也可以说，只要是没有进入95%的概率范围即可。在“红茶夫人”一例中，我们只是单方面考虑了她是否猜中，如下左图，这在统计学里被称为“单向检验”。

如果把持续偏差的小概率事件也一并考虑进去，那么，双误差率合为5%，这就是“双向检验”了。是采用双向检验还是单向检验，在判断上会有截然不同的差异出现（本书不涉及“检验”内容）。

如果“红茶夫人”连续5次（3.125%）猜中，从单向检验的角度来看（5%），的确可以认定“红茶夫人”所言的正确性；但从双向检验的角度来看，因为其概率为3.125%，没有进入2.5%范围，所以，如果再猜一次没有猜中的话，她就不会被认可（“红茶夫人”的例子里采用的是单向检验，不算严格）。

到底是采用单向检验还是双向检验？哪种检验方法更合适？这在我们最初画误差线时，就有必要事先决定好。

不过，需要知道的是，无论概率多么低，都会有偶然连续命中的可能。所以，世上没有100%的正确率，也没有绝对的正确，这就是统计学的观点。

总结

虽然没有绝对，但我们可以定一条被大多数人接受的误差线，统计学通常把这条误差线画在5%。