1.3.1　傅里叶变换

周期信号p(t)可以写为基础周期信号叠加的形式：

（1-38）

其中。如果用p(t)表示声学压力波动，则平均值为0，由此可得A₀=0。声压是一个实数，而上式中的系数A_n和B_n同样为实数。B₀可以取任意值，这只是为了使公式显得对称而引入的。

1．频谱与复数幅值

任一周期信号均是有限个或无限个单频信号的线性叠加，这些单频信号的频率均是基频1/T的整数倍。其中第n阶谐频信号的幅值可由实数对（A_n,B_n）表示。下面可以借助频谱用图形的方式将一个周期信号分解为多个谐频信号。图1-10所示的时域信号的频谱如图1-11所示。

图1-10　周期信号及其频谱成分

图1-11　对应图1-10中信号的谐频信号的幅值

将一个信号分解成多个具有复数幅值的单频信号是非常有用的。“声音在100Hz的幅值为(1+2i)”，这句话的意思是：一个信号含有100Hz的谐频成分，且此成分的复数幅值是(1+2i)：

（1-39）

此处，表示对复数取实部。

2．傅里叶变换公式

如果定义为信号的傅里叶变换，则为的逆傅里叶变换，则有以下关系式：

（1-40）

（1-41）

需要注意两点。

● 如果的单位是Pa，那么的单位则是或。

● 公式（1-40）中的积分变量f经常写为角频率ω的形式：

（1-42）

通过前面的介绍，我们了解到声音可以用声压的时间历程p(t)描述，而傅里叶理论表明任何信号均可以被分解为基础周期信号（正弦信号、余弦信号）。这些基础周期信号随频率变化的幅值被称作原时间信号的频谱。对于周期信号，其频谱是离散的，由有限个或无限个等距分布的频率（Δf=1/T）组成。对于非周期信号，其频谱一般是连续的，由各频率的微小贡献叠加而成。

信号的时域表示法和其傅里叶变换（频域表示法）是对同一现象的不同且相辅相成的描述方式。时域信号记录了真实的物理现象历程，而频谱通常可将此现象以更易于工程师阅读和理解的方式呈现。