![工程力学(Ⅱ)(第2版)](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/826/40936826/b_40936826.jpg)
2.4 许用应力、轴向拉(压)杆的强度计算
工程中所设计的结构或构件都具备一定的功能,需要承受载荷并且产生变形。为保证能正常安全的工作,结构和构件必须具有适当的强度和刚度。
所谓强度就是结构或构件抵抗破坏的能力。若结构或构件足以承担预定的载荷而不发生破坏,则称其具有足够的强度。不允许破坏的结构和构件,因为强度不足而发生破坏,是不能允许的。另一方面,在某些情况下,如剪板机剪板、冲床冲孔、压力锅上的安全阀等,需要破坏的构件因为强度过大而不破坏,也是失败的设计。因此,所有的构件都有必要的强度要求。
所谓刚度则是结构或构件抵抗变形的能力。若结构或构件在设计载荷的作用下所发生的变形小,能保证结构或构件完成其预定的功能,则称其具有足够的刚度。因为固体的弹性变形较小,刚度一般是足够的。但对于一些设计精度较高的、有特殊要求的结构或构件,如传动轴、大跨梁等,也必须考核其是否满足刚度要求,使变形限制在保证正常工作所允许的范围内。
在进行强度计算时应该考虑两个方面的问题:
(1)构件在载荷作用下所产生的工作应力。
(2)构件所用材料的力学性能。
构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力称为工作应力。通过材料力学性能的试验研究,得到了材料可以承受的极限应力指标。对于脆性材料,应力到达强度极限σb时会发生断裂;对于塑性材料,应力到达屈服强度σs时会因屈服而产生显著的塑性变形,导致结构或构件不能正常工作。屈服和断裂都是材料破坏的形式,故在进行强度设计时,分别以σs和σb作为塑性和脆性材料的极限应力。因此,强度条件是结构或构件的工作应力σ小于材料的极限应力σs(或σb),可写为
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但是,仅仅将工作应力限制在极限应力内,还不足以保证结构或构件的安全。因为上述判据的两端都可能有误差存在,因此,必须将工作应力限制在某一小于极限应力的范围内,提供一定的安全储备,才能保证结构和构件能安全地工作。换言之,实际工程设计中允许使用的应力称为许用应力,应当比材料的极限应力更低一些。工程设计中规定的许用应力[σ]为
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式中n是一个大于1的系数,称为安全系数。即材料的许用应力等于其极限应力除以安全系数,或安全系数是极限应力与许用应力之比。将许用应力与极限应力之差作为安全储备,以期保证安全。
各种不同情况下安全系数的选取,可以参照有关设计规范和手册的规定。如一般情况下,钢材的安全系数取n=1.2~2.5,脆性材料取n=2.0~3.5,而铸件取n=4等等。随着力学分析方法的进步,材料制造、加工水平的提高,对工程系统力学性态有更加充分了解后,可以降低安全系数的取值,在保证安全的条件下进一步提高设计的经济性。
为了保证拉(压)杆的正常工作,必须使杆件的工作应力不超过材料在轴向拉伸(压缩)时的许用应力,即
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式(2.10)称为杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件。运用此式可以解决工程中下列三方面的强度计算问题:
(1)强度校核。已知杆件的材料、尺寸及所受载荷(即已知[σ]、A及N),可以用式(2.10)检查杆件的强度。
(2)选择截面。已知杆件所受载荷及所用材料(即已知N和[σ]),可将式(2.10)变换成
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从而确定杆件的安全截面面积。
(3)确定许可载荷。已知杆件的材料及尺寸(即已知[σ]和A),可按式(2.10)计算此杆所能承受的最大轴力为
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从而确定此结构的承载能力。
【例2.3】 冷锻机的曲柄滑块机构如图2.18所示。锻压工件时连杆接近水平位置,承受的镦压力P=1100kN。连杆的截面为矩形,高与宽之比为h/b=1.4。材料为45号钢,许用应力为[σ]=58MPa(由于考虑到稳定效应影响,此处的[σ]已相应降低),试确定截面尺寸h和b。
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图2.18
分析:曲柄滑块机构连杆两端约束均为圆柱形铰链,是二力杆。A、B两点所受的约束力是一对大小相等,方向相反的力,作用线与连杆轴线是重合的,且是压力,将使AB杆产生轴向压缩变形。确定杆件变形形式后,先计算轴力,然后计算出杆的工作应力,利用拉压杆的强度条件可确定截面的几何尺寸。
解:由于锻压时连杆位于水平,连杆所受压力等于锻压力P,轴力
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利用强度条件式(2.11)得
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又因为连杆为矩形截面,其面积A=bh=1.4b2,所以
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【例2.4】 重物P由铝丝CD悬挂在钢丝AB的中点C处,如图2.19(a)所示,已知铝丝直径d1=2mm,许用应力[σ]1=100MPa,钢丝直径d2=1mm,许用应力[σ]2=240MPa,且α=30°,试求许可载荷[P]。
若不更换铝丝和钢丝,如何提高许可载荷?提高后的许可载荷[P]*是多少(结构仍保持对称)?
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图2.19
分析:结构中的钢丝和铝丝均受拉力作用,将产生轴向拉伸变形,可简化成拉杆模型利用式(2.2)计算工作应力。由于两拉杆的受力大小和材料都不相同,因而各杆能承受的许可载荷是不一样的。结构的许可载荷应取其中最小值。
如果在不改变结构的情况下,要提高承载能力,可使两杆的工作应力分别达到各自的许用应力,这是强度设计中的最佳状态。
解:(1)设铝丝和钢丝的张力分别N1和N2,则C点受力如图2.19(b)所示,由平衡条件可得
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(2)由强度条件可得
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比较[P]1和[P]2,则结构的许可载荷[P]=188N。
结构的许可载荷受到钢丝的限制,钢丝所受张力随α角的增加而减小,因而增加α角可提高结构的许可载荷,而结构的最大许可载荷同时也会受到铝丝的限制。当α≥α*(0≤α≤90°)时,钢丝的许可载荷大于或等于铝丝的许可载荷,即[P]2≥[P]1,此时有
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因此,当90°≥α≥α*=56.4°时,结构的许可载荷提高为
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【例2.5】 已知方形石柱的自重为ρg=23kN/m3,许用应力[σ]=1MPa,求石柱的截面尺寸。
分析:石柱的自重是体积力,轴力沿轴线成线性分布,最大轴力(危险截面)在石柱的底部。
解:(1)受力分析。任意取一横截面,轴力由截面法可得
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则石柱最大轴力在底部截面上:
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画轴力图如图2.20所示。
(2)强度条件,由式(2.10)有
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故方形截面的边长为
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若石柱改为阶梯形柱(图2.21),如何设计?请读者自己思考。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_28_7.jpg?sign=1739385188-Fmkb1VZam9RuzWLQpsCVo9FyTFz24m6k-0-0b74e9433375a228337783d2cab090f5)
图2.20
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图2.21