2.5 轴向拉伸和压缩的变形

2.5.1 构件上一点处的应变

在外力作用下，构件发生变形，同时引起应力。为了研究构件的变形及其内部的应力分布，需要了解构件内部各点处的变形。为此，假想地将构件分割成许多细小的单元体。

构件受力后，各单元体的位置发生变化，同时，单元体棱边的长度发生改变［图2.22（a）］，相邻棱边所夹直角一般也发生改变［图2.22（b）］。

设棱边KA的原长为Δs，变形后的长度为Δs+Δu,即长度改变量为Δu，则Δu与Δs,的比值，称为棱边KA的平均正应变，并用ε表示，即

一般情况下，棱边KA各点处的变形程度并不相同，平均正应变的大小将随棱边的长度而改变。为了精确地描写K点沿棱边KA的变形情况，应选取无限小的单元体即微体，由此所得平均正应变的极限值称为K点沿棱边KA方向的正应变，即

采用类似方法，还可确定K点沿其他方向的正应变。

当棱边长度发生改变时，相邻棱边之夹角一般也发生改变。微体相邻棱边所夹直角的改变量［图2.22（b）］称为切应变，并用γ表示。切应变的单位为rad。

综上所述，构件的整体变形，是各微体局部变形组合的结果，而微体的局部变形，则可用正应变与切应变度量。

2.5.2 轴向拉压杆的变形

杆件受轴向拉力时，纵向尺寸会伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。

设拉杆原长为l，横截面面积为A(图2.23)。在轴向拉力P作用下，长度由l变为l1，杆件在轴线方向的伸长为Δl,而Δl=l1-l。

试验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量Δl，与轴力N和杆长l成正比，与横截面积A成反比。即Δl∞，引入比例常数E，得

式（2.15）就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数E称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的E值已列入表2.2中。从式（2.15）可以看出，乘积EA越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以EA称为杆件的抗拉（压）刚度。

式（2.15）可改写为

其中=σ，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，就是正应变 （简称应变）ε，即ε=。ε是一个无量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。

则式（2.16）可改写为

式（2.17）表示，在弹性范围内，正应力与正应变成正比,这一关系通常也称为胡克定律。

杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为d，变形后为d1（图2.23），则横向应变ε′为

试验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变ε′与轴向应变ε之比的绝对值是一个常数。即

式（2.18）中μ称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比μ也是材料固有的弹性常数。

因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以ε′和ε符号是相反的。

【例2.6】 图2.24中的M12螺栓内径d=10.1mm，拧紧后在计算长度l=800mm上产生的总伸长Δl=0.03mm。钢的弹性模量E=200GPa。试计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。

分析：螺栓拧紧后预紧力对螺杆将产生拉力，使得螺杆伸长。可先计算出应变，再通过胡克定律计算应力。

解：拧紧后螺栓的应变为

根据胡克定律，可得螺栓内的拉应力为

螺栓的预紧力为

以上问题求解时，也可以先由胡克定律的另一表达式［式（2.15）］,即

求出预紧力P，然后再由预紧力P计算应力σ。

【例2.7】 图2.25（a）为一等截面钢杆，横截面面积A=500mm2，弹性模量E=200GPa。钢杆所受轴向外力如图2.25所示，当应力未超过200MPa时，其变形将在弹性范围内。试求钢杆的总伸长。

分析：多力杆中每段杆的轴力各不相同，应力也不相同，要分别计算应力值。胡克定律只有在应力不超过比例极限时才能使用。杆的总变形量等于各段变形量之代数和。

解：应用截面法求得各段横截面上的轴力如下：

由此可得轴力图［图2.25（b）］

由式（2.2）可得各段横截面上的正应力为

由于各段内的正应力都小于200MPa，即未超过弹性限度，所以均可应用胡克定律来计算其变形。全杆总长的改变量为各段长度改变量之和。由式（2.15）可得

【例2.8】 如图2.26所示，铅直悬挂的等截面直杆承受自身的重量，其横截面面积为A，弹性模量E，比重为ρg，试求其长度的伸长。

分析：任意水平横截面上的应力是由于截面以下杆段重量引起的，横截面上的轴力与应力是关于截面位置的函数，因而变形也是变化的。在计算总伸长时，要采用积分的方法。

解：建立坐标系如图2.26所示，取长度为dy的微段，该微段的伸长量为

将上式积分，杆的总伸长为

其中，W表示杆的重量。注意，自重作用下杆产生的总伸长等于将同样的重量施加在杆端时杆伸长的1/2。